Rozkład normalny - udowodnij...

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Alef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 394
Rejestracja: 27 sie 2012, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 95 razy

Rozkład normalny - udowodnij...

Post autor: Alef »

Udowodnić podpunkt 5 z kompendium:

79869.htm

Cytuje:

5. Kombinacja liniowa zmiennych o rozkładzie normalnym ma rozkład normalny

Z: \(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}(m_1, \sigma_1^2) \ \ \wedge \ \ Y \sim \mathcal{N}(m_2, \sigma_2^2)}\)

T: \(\displaystyle{ X+Y \sim \mathcal{N}(m_1+m_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2+2Cov(X, Y))}\)

Wskazówka:

Rozważyć:

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}(0, 1)}\)

\(\displaystyle{ Y}\) - ma rozkład dwupunktowy: \(\displaystyle{ Y=1}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ P(Y=1)=\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ Y=-1}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ P(Y=-1)=\frac{1}{2}}\).

\(\displaystyle{ Z:=YX}\)

Wówczas

\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Z}\) - zmienne losowe o rozkładzie normalnym, zależne.

Jaki rozkład ma zmienna losowa

\(\displaystyle{ X+Z}\)
Alef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 394
Rejestracja: 27 sie 2012, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 95 razy

Rozkład normalny - udowodnij...

Post autor: Alef »

I jak tam Ktoś ma jakieś przemyślenia w tym temacie

Sprawa aktualna bo zdaje się, że oszukujecie ludzi
miodzio1988

Rozkład normalny - udowodnij...

Post autor: miodzio1988 »

Masz wskazowkę czemu z niej nie skorzystasz?

I kto oszukuje ludzi?
Alef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 394
Rejestracja: 27 sie 2012, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 95 razy

Rozkład normalny - udowodnij...

Post autor: Alef »

Oszukuje ten kto wprowadza w błąd

-- 20 sty 2014, o 13:21 --
Alef pisze: Wskazówka:

Rozważyć:

\(\displaystyle{ X \sim \mathcal{N}(0, 1)}\)

\(\displaystyle{ Y}\) - ma rozkład dwupunktowy: \(\displaystyle{ Y=1}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ P(Y=1)=\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ Y=-1}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ P(Y=-1)=\frac{1}{2}}\).

\(\displaystyle{ Z:=YX}\)

Wówczas

\(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Z}\) - zmienne losowe o rozkładzie normalnym, zależne.

Jaki rozkład ma zmienna losowa

\(\displaystyle{ X+Z}\)
Wyżej wymieniona zmienna losowa \(\displaystyle{ Z}\) ma rozkład normalny, gdyż:

\(\displaystyle{ F_{Z}(z)=P(Z \le z)=P(Z \le z|Y=1)P(Y=1)+P(Z \le z|Y=-1)P(Y=-1)=\frac{1}{2}P(Z \le z|Y=1)+\frac{1}{2}P(Z \le z|Y=-1)}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}P(X \le z)+\frac{1}{2}P(X \le z)=\frac{1}{2}F_{X}(z)+\frac{1}{2}F_{X}(z)=F_{X}(z)}\)

gdzie

\(\displaystyle{ F_{X}(z)}\) - dystrybuanta rozkładu normalnego.

\(\displaystyle{ F_{Z}(z)}\) - dystrybuanta zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z}\)

Wniosek 1:

Zmienna losowa \(\displaystyle{ Z=XY}\) ma rozkład normalny.

Wniosek 2:

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Z}\) są zależne.

Wniosek 3:

\(\displaystyle{ X+Z}\) - zmienna losowa, która jest sumą dwóch zmiennych losowych o rozkładzie normalnym.

Wniosek 4:

\(\displaystyle{ X+Z}\) - ma rozklad normalny według kompedium 79869.htm (punkt 5)

Fakt:

\(\displaystyle{ X+Z}\) - ma tak naprawdę rozkład mieszany (dyskretno-ciągły), gdzie z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 0}\), bo z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) mamy

\(\displaystyle{ X+Z=X+XY=X-X=0}\)

Oznacza to, że w kompedium jest błąd.

Pozdrawiam serdecznie,
Alef
Alef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 394
Rejestracja: 27 sie 2012, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 95 razy

Rozkład normalny - udowodnij...

Post autor: Alef »

I jak tam? Przemyśleliście sprawę?
Dobrze jest czy źle?

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład normalny - udowodnij...

Post autor: Emiel Regis »

Dziękujemy za zwrócenie uwagi. Niestety w założeniach owej własności zabrakło jednego słowa - "łączny" - które oczywiście jest wymagane, normalność rozkładów brzegowych jest niewystarczająca, potrzebujemy normalności rozkładu łącznego.

Artykuł już poprawiony. Gdyby coś jeszcze budziło podejrzenia to proszę pisać, jednak pisząc artykuły na forum dołożyłem wszelkiej staranności, także żywię nadzieję, że więcej podobnych wpadek już nie powinno być.
Alef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 394
Rejestracja: 27 sie 2012, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 95 razy

Rozkład normalny - udowodnij...

Post autor: Alef »

Dziękuję.

BTW tutaj:

79843.htm

XI Rozkład Poissona

W 1 brakuje słowa "niezależne", z której zresztą korzystasz w dowodzie.

Nie chce mi się sprawdzać całego kompedium ale być może jeszcze gdzieś są błędy. Wyjdzie w praktyce tj. przy rozwiązywaniu zadań.
Awatar użytkownika
Emiel Regis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Rozkład normalny - udowodnij...

Post autor: Emiel Regis »

Ależ oczywiście, że jest takie założenie, nawet pogrubione.
Emiel Regis pisze:
Wstęp
Sądzę że warto zebrać w jednym miejscu powiązania między różnymi rozkładami prawdopodobieństwa. Często w zadaniach są potrzebne różne zależności i dobrze jest je mieć wszystkie razem dlatego też poniżej wypiszę te, z których osobiście korzystałem oraz te które są mi znane. Do niektórych postaram się dopisać dowody podanych zależności, w miarę upływu czasu powinno ich być coraz to więcej.

Wszędzie poniżej zakładam, że zmienne losowe, które występują w założeniach są niezależne.
\(\displaystyle{ \hline}\)
Alef
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 394
Rejestracja: 27 sie 2012, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 95 razy

Rozkład normalny - udowodnij...

Post autor: Alef »

A to zwracam honor!
ODPOWIEDZ