Wyrazić za pomocą dystrybuanty nastepujące prawdopodobieństwa:
a) P (X ≤ b)
b) P (X ≥ b)
c) P (a< X ≤ b)
d) P (a≤ X ≤ b)
e) P (a< X < b)
Witam, pomóżcie mi rozwiązać to zadanie, próbowałem u nauczyciela ale nie był w stanie mi tego wytłumaczyć , w internecie też nie ma nigdzie rozwiązania takiego zadania. W sobote musze przedstawic to zadanie mojemu wykładowcy. Szczerze prosze o pomoc, krok po kroku. Postaram sie odwdzieczyć jak tylko będę potrafił.
Z góry dzieki
Wyrazić za pomogą dystrybuanty
-
Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Wyrazić za pomogą dystrybuanty
To zależy od konwencji. Użyję tej popularnej wśród matematyków, tj. \(\displaystyle{ P(X\leqslant b) = F(b)}\) (co odpowiada na podpunkt a).
b)
\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}P(X\geqslant b) &=& 1 - P(X<b) \\
&=& 1- \lim_{x\to b^-}F(x)\end{array}}\)
c)
\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}P(a<X\leqslant b) &=& P( X\in (-\infty, b]\setminus (-\infty, a]) \\
&= & P(X\leqslant b) - P(X\leqslant a) \\
&=& F(b)-F(a)\end{array}}\)
d)
\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}P(a\leqslant X\leqslant b) &=& P( X\in (-\infty, b]\setminus (-\infty, a)) \\
&= & P(X\leqslant b) - P(X<a) \\
&=& F(b)-\lim_{x\to a^-}F(x)\end{array}}\)
e)
\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}P(a<X<b) &=& \lim_{y\to b^-}F(y) -\lim_{x\to a^-}F(x)\end{array}}\)
b)
\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}P(X\geqslant b) &=& 1 - P(X<b) \\
&=& 1- \lim_{x\to b^-}F(x)\end{array}}\)
c)
\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}P(a<X\leqslant b) &=& P( X\in (-\infty, b]\setminus (-\infty, a]) \\
&= & P(X\leqslant b) - P(X\leqslant a) \\
&=& F(b)-F(a)\end{array}}\)
d)
\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}P(a\leqslant X\leqslant b) &=& P( X\in (-\infty, b]\setminus (-\infty, a)) \\
&= & P(X\leqslant b) - P(X<a) \\
&=& F(b)-\lim_{x\to a^-}F(x)\end{array}}\)
e)
\(\displaystyle{ \begin{array}{lcl}P(a<X<b) &=& \lim_{y\to b^-}F(y) -\lim_{x\to a^-}F(x)\end{array}}\)
Wyrazić za pomogą dystrybuanty
Wielkie Dzięki kolego za szybką odpowiedź. Jestem całkowicie "zielony" i kurcze nie wiem jak wytłumacze wykładowcy jak to zrobiłem
Może ktoś jeszcze się wypowie na temat tego zadania ?
Może ktoś jeszcze się wypowie na temat tego zadania ?
-
Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Wyrazić za pomogą dystrybuanty
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową. Dystrybuantę \(\displaystyle{ F}\) zmiennej \(\displaystyle{ X}\) definiujemy wzorem
\(\displaystyle{ F(t)=P(X\leqslant t)}\),
tj. dystrybuanta odpowiada na pytanie jaka jest szansa, że wartości \(\displaystyle{ X}\) nie przekraczają \(\displaystyle{ t}\)?
Mamy
\(\displaystyle{ P(X<t) = \lim_{n\to \infty}P(X\leqslant t-\tfrac{1}{n}) = \lim_{n\to \infty} F(t-\tfrac{1}{n}).}\)
Ponieważ wprost z określenia dystrybuanta jest funkcją niemalejącą, zachodzi
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} F(t-\tfrac{1}{n}) = \lim_{x\to t^-}F(x).}\)
Reszta przypadków wynika z tego oraz elementarnej własności miar skończonych: jeżeli \(\displaystyle{ \mu(A)<\infty}\) oraz \(\displaystyle{ B\subseteq A}\) jest zbiorem mierzalnym, to
\(\displaystyle{ \mu(A\setminus B)=\mu(A)-\mu(B).}\)
(W naszym przypadku \(\displaystyle{ \mu = P}\).)
\(\displaystyle{ F(t)=P(X\leqslant t)}\),
tj. dystrybuanta odpowiada na pytanie jaka jest szansa, że wartości \(\displaystyle{ X}\) nie przekraczają \(\displaystyle{ t}\)?
Mamy
\(\displaystyle{ P(X<t) = \lim_{n\to \infty}P(X\leqslant t-\tfrac{1}{n}) = \lim_{n\to \infty} F(t-\tfrac{1}{n}).}\)
Ponieważ wprost z określenia dystrybuanta jest funkcją niemalejącą, zachodzi
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} F(t-\tfrac{1}{n}) = \lim_{x\to t^-}F(x).}\)
Reszta przypadków wynika z tego oraz elementarnej własności miar skończonych: jeżeli \(\displaystyle{ \mu(A)<\infty}\) oraz \(\displaystyle{ B\subseteq A}\) jest zbiorem mierzalnym, to
\(\displaystyle{ \mu(A\setminus B)=\mu(A)-\mu(B).}\)
(W naszym przypadku \(\displaystyle{ \mu = P}\).)