Witam, mam następujące zadanie:
Wyznacz współczynnik a tak, aby funkcja była dystrybuantą. Wyznacz gęstość, wartość oczekiwaną, wariancję. Narysuj wykres dystrybuanty i gęstości.
\(\displaystyle{ \\F(x) =
\left\{\begin{matrix}
0,\;\;\;\;\;\;\;\;\; x\epsilon (-\infty ; 3 \rangle
\\
1 - \tfrac{a}{x},\;\; x\epsilon (3;+\infty)
\end{matrix}\right.}\)
Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ \\
F'(x) = g(x)
\\
F(x) = 1 - \tfrac{a}{x} \rightarrow F'(x) = \tfrac{a}{x^2}
\\
\\
\int_3^{+\infty}\tfrac{a}{x^2}dx = 1 \rightarrow a \cdot \int_{3}^{+\infty}x^{-2}dx = a \cdot -\left[ \tfrac{1}{x} \right ]^{+\infty}_3 = -a \cdot(\tfrac{1}{+\infty} - \tfrac{1}{3}) = \tfrac{1}{3}a = 1
\\
\\
a = 3
\\
\\
EX = \int_{3}^{+\infty}x\tfrac{3}{x^2}dx = 3\int_{3}^{+\infty}\tfrac{1}{x}dx = 3 \cdot \left[ \log(x) \right ]^{+\infty}_3}\)
Interesuje mnie, czy dobrze wyznaczyłem współczynnik a oraz czy wartości oczekiwanej faktycznie tutaj nie będzie w ogóle. Ponieważ:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty}\log(x) = +\infty}\)
to całka z której liczę EX będzie rozbieżna - ergo - EX nie ma. Dobrze rozumuję?
Dziękuję z góry za pomoc -
Pozdrawiam
Patryk
