Zmienna losowo - częściowo policzone.

[mariusz689]

Genowefa i Kunegunda wybierają się z wizytą do koleżanki Albertyny aby razem grać w pokera. Każde z nich przychodzi losowo między godziną 14:00 a 24:00 i spędzi u Albertyny równą godzinę. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zmienną losową oznaczającą długość czasu w godzinach w jakim cała trójka była razem. Wyznacz dystrybuantę rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)


Moje rachunki:
Narysowałem sobie kwadrat w układzie współrzędnych x , y. zakreśliłem pole które przechodzi przez środek i policzyłem pole niezamalowanej części kwadratu i wyszło \(\displaystyle{ \frac{81}{100}}\). Więc że się przynajmniej zobaczą prawdopodobieństwo wynosi \(\displaystyle{ \frac{81}{100}}\). Od jedynki do nieskończoności wiadomo że dystrybuanta wyniesie stałą wartość 1.

Co się dzieje między zerem a jedynką ? Jak rośnie nasza dystrybuanta i dlaczego w taki sposób ?

[mm34639]

\(\displaystyle{ \frac{81}{100}}\) to prawdopodobieństwo że w ogóle się nie zobaczą.
Dystrybuanta "podskakuje" w zerze do \(\displaystyle{ \frac{81}{100}}\) i rośnie do jedynki, którą osiąga właśnie w \(\displaystyle{ x=1}\).

Żeby dowiedzieć się co się dzieje pomiędzy, musimy odpowiedzieć na pytanie "jakie jest p-stwo, że były razem nie dłużej niż x". Czyli że się nie spotkały, albo spotkały się, ale były razem nie dłużej niż \(\displaystyle{ x}\) część godziny.
Odpowiedź kryje się w tym kwadracie : )
wydaje mi się, że powinno być \(\displaystyle{ F(x)=\frac{(9+x)^2}{100}}\)

[mariusz689]

\(\displaystyle{ X}\) jest czasem spotkania się całej trójki. Gdy \(\displaystyle{ X=0}\) to się wcale nie spotkają, gdy \(\displaystyle{ X=1}\) będą się widzieć przez 60 minut. Patrząc intuicyjnie wiemy że większe jest prawdopodobieństwo że będą się widzieć np 6 minut. niż 54minut. Więc nasza dystrybuanta między 0 a 0,1 powinna szybciej rosnąć niż między 0,9 a 1. Więc dystrybuanta na odcinku od zera do jedynki powinna być funkcją wklęsłą. według mnie dystrybuanta powinna wynosić na odcinku zero do jedynki \(\displaystyle{ F(x) = \frac{81}{100} + \frac{100-(10-x)^2}{100}}\).

Wnioskowałem to z tego że narysowałem sobie prawdopodobieństwo geometryczne gdy widzą się przez 6 minut i patrzyłem w jaki sposób rośnie nam pole figury gdy \(\displaystyle{ X}\) rośnie do 1

Jak oceniasz moje rozwiązanie ?

[mm34639]

Patrząc intuicyjnie wiemy że większe jest prawdopodobieństwo że będą się widzieć np 6 minut. niż 54minut.

Teoretycznie oba te prawdopodobieństwa równe są zero.

Ale niekoniecznie jest bardziej prawdopodobne, że będą się widziały krócej a nie dłużej - np. jeśli pierwsza osoba przyszła o 17, to żeby widziały się przez 6 minut, druga osoba musiałaby przyjść dokładnie o 16.06 , albo o 17:54.

Żeby widziały się 54 minuty, to druga osoba musi być o 17.06, albo o 16.54. Ten drugi warunek nie wygląda na "trudniejszy do spełnienia", jako że moment przyjścia ustalonej osoby ma rozkład jednostajny.

Tak naprawdę, jeśli już wiemy że się zobaczą, to bardziej prawdopodobne jest, że będą się widziały dłużej niż krócej.

AU

21cwigi.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 81 razy

Ciemnoszare, to że nie zobaczą się wcale. Jasnoszare, to że zobaczą się, ale nie dłużej niż \(\displaystyle{ x}\).
Ustal sobie jakąś godzinę (żeby było łatwiej, to ze środka). Dystrybuanta, to pole jasnoszare i ciemnoszare.
Powiedzmy, że pierwsza osoba przyszła o tej 17, chcemy znaleźć takie godziny dla przyjścia drugiej osoby, żeby widziały się nie dłużej niż 20min. No to co -
II przybywa o 16:18, - ten moment należy do obszaru jasnoszarego, bo jeśli II przyjdzie o tej porze, to widzą się 18 min. , bo II wyjdzie o 17:18
16:20 - to jest wartość graniczna, tu widzą się 20 min.
16:21 - należy do białego, bo widzą się 21 min.
17:00 - widzą się całą godzinę.
17:38 - widzą się 22 min. ;
17:40 wartość graniczna z drugiej strony - znowu widzą się 20 min (aha, zauważ, że 17:40 to jakby 18:00 - 20 min.)

Jakoś tak to z grubsza działa.