Cześć wszystkim
Chciałbym abyście sprawdzili kilka zadań z rachunku czy są dobrze zrobione.
Treści zadań:
1.Wyprodukowane wkręty pakuje się w pudełeczka. Z uwagi na drobne odchylenia ilościowe, liczbę wkrętów w pudełeczku możemy uważać za zmienną losowa X. Znana jest wartość oczekiwana tej zmiennej E (X) = 200 sztuk oraz standardowe odchylenie \(\displaystyle{ \sqrt{V(X)}}\) = 2,8 sztuk. Obliczyć wartość oczekiwaną oraz standardowe odchylenie liczby wkrętów w n = 100 opakowaniach. Obliczyć współczynnik zmienności dla jednego opakowania, a także dla 100 opakowań.
2. Wektor losowy ma łączną gęstość prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ f(x;y) = \begin{cases} x + y &\text{dla } x \in (0;1) \wedge y \in (0;1)\\0 &\text{dla }x \not\in (0;1) \vee y \not\in (0;1) \end{cases}}\)
Obliczyć momenty zwyczajne i momenty centralne pierwszego i drugiego rzedu.
3.Zmienna losowa X ma rozkład normalny o gęstości określonej wzorem:
\(\displaystyle{ f_{x}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}}\)
Znaleźć punkt \(\displaystyle{ x_{p}}\), dla którego spełniona jest równość:
\(\displaystyle{ f_{x}(x_{p}) = p}\)
dla p = 0,1; 0,25; 0,5; 0,75; 0,9; 0,95. Należy nauczyć się korzystania z tablicy III rozkładu normalnego z ksiażki M. Fisza.
4. Zmienna losowa X jest typu ciągłego o gęstości określonej wzorem:
\(\displaystyle{ f_{x}(x) = \begin{cases} cos(x) &\text{: } x \in (0;\frac{\pi}{2})\\0 &\text{: }x \not\in (0;\frac{\pi}{2}) \end{cases}}\)
Obliczyć medianę zmiennej losowej.
5.Zmienna losowa ma rozkład jednostajny o gęstości prawdopodobieństwa określonej wzorem:
\(\displaystyle{ f_{x}(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} &\text{: } x \in (a;b)\\0 &\text{: }x \not\in (a;b) \end{cases}}\),
gdzie \(\displaystyle{ a, b \in R}\) i \(\displaystyle{ a < b}\). Obliczyć funkcje charakterystyczną.
Rozwiązania:
Rozwiązanie zadania 1
Niech zmienna \(\displaystyle{ X_{n}}\) oznacza zmienną losową ilości wkrętów dla n opakowań. Ponieważ pudełka pakowane są "niezależnie", to ich zmienne losowe ilości wkrętów też można uznać za niezależne.
A więc:
\(\displaystyle{ E(X_{n}) = nE(X) = 20000}\)
Następnie:
\(\displaystyle{ V(X_{n}) = nV(x) = 100 * 2,8^{2}}\)
Teraz wyliczam współczynnik zmienności:
\(\displaystyle{ v_{x} = \frac{\sqrt{V(X)}}{E(X)} = \frac{2,8}{200} = \frac{7}{500} = 0,014}\)
\(\displaystyle{ v_{x_{n}} = \frac{\sqrt{V(X_{n})}}{E(X)} = \frac{\sqrt{100 * 2,8^{2}}}{200} = \frac{7}{5000} = 0,0014}\)
Rozwiązanie zadania 2
\(\displaystyle{ f(x;y) = \begin{cases} x + y &\text{dla } x \in (0;1) \wedge y \in (0;1)\\0 &\text{dla }x \not\in (0;1) \vee y \not\in (0;1) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ r, s = 1}\)
\(\displaystyle{ \alpha_{rs} = E(x^{rys})}\)
Liczę moment zwykły I rzędu:
\(\displaystyle{ \alpha_{11} = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^{r}y^{s}f(x,y)dxdy = \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1} xy(x+y)dxdy = \frac{1}{3}}\)
Liczę moment zwykły II rzędu:
\(\displaystyle{ \alpha_{22} = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^{r}y^{s}f(x,y)dxdy = \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1} x^{2}y^{2}(x+y)dxdy = \frac{1}{4}}\)
Teraz liczę funkcje brzegowe, które będą potrzebne do obliczenia wartości oczekiwanych, które z kolei przydadzą się do obliczenia momentu centralnego:
\(\displaystyle{ E(X) = \int\limits_{-\infty}^{infty}xf_{1}(x)dx}\)
\(\displaystyle{ E(Y) = \int\limits_{-\infty}^{infty}yf_{2}(y)dy}\)
\(\displaystyle{ f_{1}(x) = \int\limits_{0}^{1}(x+y)dy = x + \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ f_{1}(y) = \int\limits_{0}^{1}(x+y)dy = y + \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ E(X) = \int\limits_{0}^{1}x(x + \frac{1}{2})dx = \frac{7}{12}}\)
\(\displaystyle{ \int x^{2}dx + \frac{1}{2}\intxdx = x^{2}(\frac{x}{3} + \frac{1}{4})}\)
\(\displaystyle{ E(Y) = \int\limits_{0}^{1}y(x + \frac{1}{2})dy = \frac{7}{12}}\)
\(\displaystyle{ \int y^{2}dy + \frac{1}{2}\intydy = y^{2}(\frac{y}{3} + \frac{1}{4})}\)
Teraz liczę moment centralny I i II rzędu:
\(\displaystyle{ \mi_{rs} = \int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x - E(x))^{r}(y - E(x))^{s}f(x;y)dxdy}\)
\(\displaystyle{ \mi_{rs} = \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1}(x - \frac{7}{12})^{1}(y - \frac{7}{12})^{1}(x+y)dxdy = - \frac{1}{144}}\)
\(\displaystyle{ \mi_{rs} = \int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1}(x - \frac{7}{12})^{2}(y - \frac{7}{12})^{2}(x+y)dxdy = 0,00564}\)
Rozwiązanie zadania 3
\(\displaystyle{ f_{x}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}}}\)
\(\displaystyle{ \sigma = 1
m = 0}\)
\(\displaystyle{ f_{x}(x_{p}) = p}\)
\(\displaystyle{ p = 0,1 = f_{x}(x_{p})} , x_{p} = -1,32 (0,1003)}\)
\(\displaystyle{ p = 0,25 = f_{x}(x_{p}) , x_{p} = -0,73 (0,1003)}\)
\(\displaystyle{ p = 0,5 = f_{x}(x_{p}) , x_{p} = 0 (0,1003)}\)
\(\displaystyle{ p = 0,75 = f_{x}(x_{p}) , x_{p} = 0,67 (0,1003)}\)
\(\displaystyle{ p = 0,9 = f_{x}(x_{p}) , x_{p} = 1,28 (0,1003)}\)
\(\displaystyle{ p = 0,95 = f_{x}(x_{p}) , x_{p} = 1,64 (0,1003)}\)
Rozwiązanie zadania 4
Mamy określoną gęstość wzorem:
\(\displaystyle{ f_{x}(x) = \begin{cases} cos(x) &\text{: } x \in (0;\frac{\pi}{2})\\0 &\text{: }x \not\in (0;\frac{\pi}{2}) \end{cases}}\)
Liczymy dystrybuanty:
a)Kiedy x jest przed wykresem:
\(\displaystyle{ f(x_{I}) = \int\limits_{-\infty}^{x}0dt = 0}\)
b)Na wykresie:
\(\displaystyle{ f(x_{II}) = \int\limits_{-\infty}^{0}0dt + \int\limits_{0}^{x}cos(t)dt = sin(x)}\)
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{x}cos(t)dt = sin(x)}\)
c)Kiedy x jest poza wykresem:
\(\displaystyle{ f(x_{II}) = \int\limits_{-\infty}^{0}0dt + \int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos(t)dt + \int\limits_{\frac{\pi}{2}}^{\infty}cos(t)dt = 1}\)
Teraz liczymy medianę:
\(\displaystyle{ f_{x}(x) = \begin{cases} 0 &\text{: } x\in (-\infty;0)\\sin(x) &\text{: }x\in[0;\frac{\pi}{2}]\\1 &\text{: }x\in[\frac{\pi}{2};\infty] \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ F(x_{0,5}) = 0,5}\)
\(\displaystyle{ sin(x) = 0,5}\)
\(\displaystyle{ sin\frac{\pi}{6} = 0,5}\)
A więc mediana to \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\)
Rozwiązanie zadania 5
Mamy:
\(\displaystyle{ f_{x}(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} &\text{: } x \in (a;b)\\0 &\text{: }x \not\in (a;b) \end{cases}}\),
gdzie \(\displaystyle{ a, b \in R}\) i \(\displaystyle{ a < b}\). Musimy obliczyć funkcje charakterystyczną.
A więc :
\(\displaystyle{ \fi_{x}(t) = \int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{itx}f(x)dx}\)
\(\displaystyle{ \fi_{x}(t) = \int\limits_{a}^{b}e^{itx}(\frac{1}{b-a})dx = \frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}e^{itx}dx = \frac{1}{it(b-a)}(e^{itb}-e^{ita})}\)
Bardzo proszę o sprawdzenie tych zadań:):)
Zadania do sprawdzenia z rachunku
Zadania do sprawdzenia z rachunku
Ostatnio zmieniony 5 gru 2013, o 20:30 przez david92, łącznie zmieniany 2 razy.
Zadania do sprawdzenia z rachunku
Hmm więc wzór na wariancje to ten?:
\(\displaystyle{ V(X) = E(X^{2}) - [E(X)]^{2}}\)
\(\displaystyle{ V(X) = E(X^{2}) - [E(X)]^{2}}\)
-
miodzio1988
Zadania do sprawdzenia z rachunku
Hmm no nie rozumiem za bardzo, w zadaniu mam podane odchylenie standardowe dla jednego opakowania więc odchylenie dla 100 opakowań to będzie 100 * 2,8^2 (dlatego do potęgi 2 ponieważ mamy podane odchylenie pod pierwiastkiem). Więc według mnie wszystko jest ok.