zbieżność według rozkładu

[Nesquik]

Niech \(\displaystyle{ X_{1}, X _{2}, \ldots}\) będą niezależnymi nieujemnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0,1 \right]}\). Wykaż, że zmienne losowe

\(\displaystyle{ Z_{n}=n\min \left( X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} \right)}\)

zbiegają według rozkładu

Liczę dystrybuantę i dochodzę do momentu:
\(\displaystyle{ P \left( \min{X_1,...,X_n}\left\langle \frac{t}{n} \right) =P \left( X_1< \frac{t}{n} \vee ... \vee X_n< \frac{t}{n} \right) =1-P \left( X_1 \right\rangle \frac{t}{n} \wedge ... \wedge X_n> \frac{t}{n} \right) =1-P \left( X_1>\frac{t}{n} \right) ^{n}=1- \left( 1-F_{X_i} \left( \frac{t}{n} \right) \right) ^{n}}\)

co powinnam zrobić dalej?

[zidan3]

Jaka jest dystrybuanta rozkładu jednostajnego na \(\displaystyle{ [0,1]}\)?

[Nesquik]

skoro gęstość to \(\displaystyle{ f= \frac{1}{b-a}}\) to całka z tego to dystrybuanta

[zidan3]

U Ciebie \(\displaystyle{ b=1 \ \ \mbox{oraz} \ \ a=0}\). Zatem \(\displaystyle{ F_{X_1}\left( \frac{t}{n}\right)= \frac{t}{n}}\). Teraz już łatwo dokończysz liczenie granicy

[Nesquik]

Wyjdzie rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ 1}\)?

A mam jeszcze takie pytanie,jakby był inny rozkład,jakiś trudniejszy,to najpierw powinnam sobie policzyc jego dystrybuante na boku i potem w tym miejscu co się zacięłam ją wstawić?
np. dla rozkładu wykładniczego
\(\displaystyle{ f=\lambda e^{-\lambda}}\) dystrybuanta to \(\displaystyle{ F= \int_{0}^{ \infty }f dx}\) wyliczam \(\displaystyle{ F}\) i w miejsce \(\displaystyle{ x}\) wstawiam \(\displaystyle{ \frac{t}{n}}\)?

[zidan3]

Pierwsze nie.
Wychodzi granica \(\displaystyle{ 1-e^{-1 \cdot t}}\) a to jest dystrybuanta rozkładu \(\displaystyle{ Exp(1)}\) a nie \(\displaystyle{ Exp(t)}\).
Tak dystrybuante możesz sobie na boku policzyć i zamiast argumentu wstawaisz to co tam Ci wcześniej wyszło.

[Nesquik]

Mój błąd ,faktycznie \(\displaystyle{ 1}\), Dziękuje za pomoc