Tytuł tematu może trochę nieprecyzyjny, więc spieszę z uściśleniem:
Czytam "elementy probabilistyki" Agnieszki Plucińskiej i Edmunda Plucińskiego
Temat: Rozkład prawdopodobieństwa w euklidesowej przestrzeni zdarzeń
Podpunkt: \(\displaystyle{ \Omega = \mathbb{R}^{2}}\)
Autorzy zabierają się za określanie jakie własności musi mieć funkcja \(\displaystyle{ F}\) aby być dystrybuantą:
1) Funkcja F jest niemalejąca ze względu na każdą ze zmiennych (przy ustalonej wartości drugiej zmiennej).
2) \(\displaystyle{ \forall x \lim_{y \to -\infty} F(x,y) = 0, \quad \forall y \lim_{x \to -\infty} F(x,y) = 0, \quad \lim_{(x,y) \to (+\infty, +\infty)} F(x,y) = 1}\)
3) Funkcja F jest lewostronnie ciągła ze względu na każdą ze zmiennych (przy ustalonej wartości drugiej zmiennej).
Dodali jednak do tego jeszcze jedno wymaganie:
4) \(\displaystyle{ \forall_{x_1 \le x_2} \forall_{y_1 \le y_2} \left[ F(x_2,y_2) - F(x_1,y_2) - F(x_2,y_1) + F(x_1,y_1) \ge 0\right]}\)
Rozumiem skąd wzięło się to założenie: dba ono aby prawdopodobieństwo zdarzenia losowego definiowanego przez prostokąt \(\displaystyle{ (x_1,y_1), (x_1,y_2), (x_2,y_1), (x_2,y_2)}\) nie było ujemne.
Czy jednak własność ta nie wynika z własności 1) i 2)?
Intuicja i dotychczasowa wiedza mówi mi że 1), 2) \(\displaystyle{ \Rightarrow}\) 4) przynajmniej w wypadku kiedy
\(\displaystyle{ F(x, y) = \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u,v)dudv}\)
gdzie
\(\displaystyle{ f \ge 0}\)
Interpretujemy wtedy bowiem funkcję F jako nieujemną objętość odpowiedniej bryły.
Mam nadzieję że nie pogmatwałem się w swoich zeznaniach i udało mi się przedstawić mój problem w miarę czytelnie =P
Będę bardzo wdzięczny za wszelką pomoc!
Pozdrawiam