Rozmieszczamy losowo n + 1 kul w n ponumerowanych komórkach. Jakie jest prawdopodobieństwo
tego, że ani jedna komórka nie pozostanie pusta ?
Od czego mam zacząć ?
Rozmieszczamy losowo n + 1 kul w n ponumerowanych komórkach
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8570
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 306 razy
- Pomógł: 3347 razy
Rozmieszczamy losowo n + 1 kul w n ponumerowanych komórkach
Każda kula ma n możliwości wyboru numerowanej komórki. Stąd
\(\displaystyle{ \Omega =W _{n+1} ^{n}=n ^{n+1}}\)
Teraz Twoje zdarzenie: A-wszystkie komórki zajęte (tzn. że jedna z komórek zawiera dwie kule a pozostałe dokładnie jedną)
Pierwszą kulę umieszczasz w dowolnej komórce (ma n możliwości), druga dajesz do tej samej (1 możliwość), trzecią do innej(n-1 możliwości) czwartą do jeszcze innej komórki (n-2),........, przedostatnią do jednej z dwóch pozostałych komórek (2 możliwości)a ostatnią kulę do ostatniej niezapełnionej komórki (1 możliwość). Czyli n! możliwości. Ale numer komórki zawierającej dwie kule może być dowolny (czyli n możliwości) co daje:
\(\displaystyle{ A=n! \cdot n}\)
Ponieważ kule są nienumerowane (więc nierozróżnialne ) to można tak zrobić ignorując fakt że to
piąta (k-ta) kula trafiła do dziewiątej (i-tej)kuli.
\(\displaystyle{ \Omega =W _{n+1} ^{n}=n ^{n+1}}\)
Teraz Twoje zdarzenie: A-wszystkie komórki zajęte (tzn. że jedna z komórek zawiera dwie kule a pozostałe dokładnie jedną)
Pierwszą kulę umieszczasz w dowolnej komórce (ma n możliwości), druga dajesz do tej samej (1 możliwość), trzecią do innej(n-1 możliwości) czwartą do jeszcze innej komórki (n-2),........, przedostatnią do jednej z dwóch pozostałych komórek (2 możliwości)a ostatnią kulę do ostatniej niezapełnionej komórki (1 możliwość). Czyli n! możliwości. Ale numer komórki zawierającej dwie kule może być dowolny (czyli n możliwości) co daje:
\(\displaystyle{ A=n! \cdot n}\)
Ponieważ kule są nienumerowane (więc nierozróżnialne ) to można tak zrobić ignorując fakt że to
piąta (k-ta) kula trafiła do dziewiątej (i-tej)kuli.