Rozkłady zmiennych losowych dwuwymiarowych

[borixon2]

Witam

Proszę o pomoc w rozwiązaniu dwóch zadań :

1. Zmienna losowa \(\displaystyle{ \left( X,Y\right)}\) ma rozkład łączny o funkcji prawdopodobieństwa:
\(\displaystyle{ p(-1,2)=0,2 \ \ p(1,2)=0,3 \ \ p(1,3)=0,1 \ \ p(-1,3)=0,4}\)

a) Zbadać niezależność zmiennych losowych \(\displaystyle{ X,Y}\).
b) Obliczyć wariancję zmiennej losowej \(\displaystyle{ Y}\) w jej rozkładzie brzegowym.
c) Określić rozkład brzegowy zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\).
d) Obliczyć kowariancję \(\displaystyle{ cov(X,Y)}\).
e) Zbadać nieskorelowanie zmiennych losowych \(\displaystyle{ X,Y}\).

2.Zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne i mają rozkłady brzegowe o funkcjach prawdopodobieństwa odpowiednio:

\(\displaystyle{ p_{1}(0)=0,6 \ \ p_{1}(2)=0,3 \ \ p_{1}(4)=0,1}\)
\(\displaystyle{ p_{2}(0)=0,3 \ \ p_{2}(2)=0,2 \ \ p_{2}(3)=0,3 \ \ p_{2}(4)=0,2}\)

a) Określić rozkład łączny Zmiennej losowej dwuwymiarowej \(\displaystyle{ \left( X,Y\right)}\) .
b) Czy\(\displaystyle{ X,Y}\) sa nieskorelowane?

[Kartezjusz]

1. \(\displaystyle{ P(x=1)=x_{1}; P(x=-1)=x_{2}}\)
\(\displaystyle{ P(x=2)=y_{1};P(x=3)=y_{2}}\)
Masz w efekcie cztery równania. Z nich wyliczysz rozkłady brzegowe.
2.Korzystasz z niezależności.

[borixon2]

Czy mógłbyś mi rozpisać te równania z 1. zadania oraz wytłumaczył dokładniej jak wykorzystać niezależność do wyznaczenia rozkładu w zadaniu 2.

Z góry dzięki za pomoc

[Kartezjusz]

1) \(\displaystyle{ x_{1}y_{1}=0,2}\)
2)\(\displaystyle{ x_{1}y_{2}=0,3}\)
3)\(\displaystyle{ x_{2}y_{1}=0,1}\)
\(\displaystyle{ x_{2}y_{2}=0,4}\)
Rozkłady są dwupunktowe, czyli \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}=1}\),\(\displaystyle{ y_{2}+y_{1}=1}\).
Dodajmy każde dwa równania stronami wykorzystując te uwagi linijkę wyżej.
powinno wyjść: \(\displaystyle{ x_{1}=0,5=x_{2}}\) ;\(\displaystyle{ y_{1}=0,3}\);\(\displaystyle{ y_{2}=0,7}\)
Reszta podręcznikowo.

[borixon2]

Wyszły mi takie odpowiedzi:
1.
a) zmienne nie sa niezalezne
b) \(\displaystyle{ Var(Y)=0,25}\)
c) \(\displaystyle{ p_{1}(-1)=0,6 \ \ p_{1}(1)=0,4}\)
d)\(\displaystyle{ Cov(X,Y)=0}\)
e)\(\displaystyle{ wspol. \ korelacji=0 \ \ czyli \ zmienne \ nie \ są \ skorelowane}\)

Czy jest wszystko ok ?