Rozkład sumy zmiennych losowych

[olucja]

Mam problem z pewnym zadaniem. Znam rozwiązanie, ale nie rozumiem jednego z ostatnich kroków(w sumie chodzi o liczenie całki). Oto treść zadania:

Znaleźć rozkład sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na przedziale [0,1].

Oznaczam \(\displaystyle{ f,g}\) jako gęstości dwóch zmiennych losowych \(\displaystyle{ \xi, \eta}\), natomiast \(\displaystyle{ h}\) jako gęstość ich sumy.
Oczywiście \(\displaystyle{ f=g=1}\) na przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\), poza przedziałem - 0.
Korzystamy ze wzoru na splot funkcji:
\(\displaystyle{ h(x)=\int_{0}^{1} f(x-t)g(t) dt=\int_{0}^{1} f(x-t) dt=\int_{x-1}^{x} f(u) du=}\)
Do tego momentu wszystko rozumiem. Nie wiem natomiast jak rozwiązać tą całkę. Skąd poniższy wynik?
\(\displaystyle{ h(x)=\begin{cases} 0 &\text{dla } x<0,x>2 \\x &\text{dla } 0 \le x \le 1 \\2-x &\text{dla } 1<x \le 2\end{cases}}\)
Bardzo proszę o pomoc!

[Kartezjusz]

Tak nas uczono na prawdopodobieństwie.
1.Narysuj dwa przedziały \(\displaystyle{ [0,1]}\). Jeden umocuj tam ,gdzie jest normalnie, a drugi możesz przesuwać o \(\displaystyle{ x}\). Rozważasz przypadki związane z położeniem prawego końca przedziału.

[olucja]

Już CHYBA rozumiem. Czy mogę traktować tą całkę jako liczenie dystrybuanty? Wtedy to 0 i x ma sens. Ale nie wiem wówczas skąd się wziął wgl przedział \(\displaystyle{ [1,2]}\) w odpowiedziach. Przecież na tym przedziale gęstość się zeruje, tak? Bo jest niezerowa tylko na \(\displaystyle{ [0,1]}\).

[Kartezjusz]

przy \(\displaystyle{ x \in (1,2)}\) Iloczyn jest niezerowy.

[olucja]

Dlaczego? Bardzo bym prosiła o wytłumaczenie/rozpisanie rozwiązania tej całki, głównie chodzi mi właśnie skąd w odpowiedziach wziął się ten przedział \(\displaystyle{ (1,2]}\)? Widzę, że jak liczę dystrybuantę na tym przedziale to wychodzi \(\displaystyle{ 2-x}\), ale w życiu bym nie wpadła na taki przedział. Raczej bym liczyła dla \(\displaystyle{ x>1}\).

[Vardamir]

\(\displaystyle{ h(x)=\int_{\RR} f(x-t)g(t) \dd t=\int_{\RR}1_{\left[ x-1,x\right] }1_{\left[ 0,1\right] }\dd t}\)

Wartość tej całki zależy od tego jaki jest \(\displaystyle{ x}\), mamy zatem:

\(\displaystyle{ x \in [0,1]}\) wówczas dla tych przedziałów istnieje choć jeden punkt wspólny (przy \(\displaystyle{ x=0}\)) lub punkty od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ x}\). Otrzymujemy całkę
\(\displaystyle{ \int_{0}^{x}1\dd t =x}\)

Liczymy od \(\displaystyle{ t=0}\) bo wcześniej gęstość jest równa zero. Liczymy do \(\displaystyle{ t=x}\) bo tak daleko oba przedziały będą się pokrywały.

\(\displaystyle{ x \in (1,2]}\) wówczas dla tych przedziałów istnieje choć jeden punkt wspólny (przy \(\displaystyle{ x=2}\)) lub punkty pomiędzy \(\displaystyle{ x-1}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\). Otrzymujemy całkę
\(\displaystyle{ \int_{x-1}^{1}1\dd t =2-x}\)

Zauważmy, że poza \(\displaystyle{ x\in [0,2]}\) rozważane przedziały nie mają punktów wspólnych, zatem gęstość wynosi tam \(\displaystyle{ 0}\). Innymi słowy na dowolnym przedziale mamy:
\(\displaystyle{ \int_{t_0}^{t_1}0\dd t =0}\)

[olucja]

Dziękuję bardzo za wytłumaczenie, wreszcie to zrozumiałam!
Mam jeszcze tylko takie małe pytanie. Mam zadanie do rozwiązania na tej samej zasadzie tyle, że przedział całkowania jest dodatkowo z parametrem, stąd nie wiem jakie wziąć przedziały całkowania przy dystrybuancie.
Pominę sam początek zadania. Chodzi mi o samą całkę:
\(\displaystyle{ \int\limits_{[x+c-\frac{1}{2},x+c+\frac{1}{2}]\cap[c-\frac{1}{2},c+\frac{1}{2}]} dt}\)
Wiem, że interesują mnie następujące przedziały:
\(\displaystyle{ x \in <-1,0>, x\in (0,1>}\) oraz \(\displaystyle{ x<-1}\) lub \(\displaystyle{ x>1}\). Na ostatnim przedziale oczywiście dystrybuanta wynosi 0. Ale co z dwoma pierwszymi przedziałami? Jak wówczas wygląda przedział całkowania i dlaczego? Myli mnie ten parametr \(\displaystyle{ c \in R}\)

[Vardamir]

A to też jest rozkład jednostajny? Początek zadania też jest istotny.

[olucja]

Tak, też jest jednostajny.

[Kartezjusz]

Sprecyzuj pytanie.

[olucja]

\(\displaystyle{ \int\limits_{[x+c-\frac{1}{2},x+c+\frac{1}{2}]\cap[c-\frac{1}{2},c+\frac{1}{2}]} dt}\)
Wartość tej całki zależy od x, stąd przedziały:
\(\displaystyle{ x \in <-1,0> \\
x\in (0,1>}\)
\(\displaystyle{ x<-1}\) lub \(\displaystyle{ x>1}\) (na tym całka się zeruje)
Ale co z dwoma pierwszymi? Jak wyglądają całki, które muszę policzyć? Chodzi mi o przedział całkowania.