Prawdopodobieństwo Urny

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

Prawdopodobieństwo Urny

Post autor: Grzegorz t »

Urna \(\displaystyle{ A}\) zawiera \(\displaystyle{ 3}\) białe i \(\displaystyle{ 2}\) czarne kule, a urna \(\displaystyle{ B}\) \(\displaystyle{ 2}\) białe i \(\displaystyle{ 3}\) czarne kule. Wylosowano \(\displaystyle{ 4}\) razy ze zwracaniem jedną kulę z urny \(\displaystyle{ A}\) oraz jedną kulę z urny \(\displaystyle{ B}\). Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród pięciu wylosowanych kul są co najmniej dwie kule białe.
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Prawdopodobieństwo Urny

Post autor: mortan517 »

Chyba najłatwiej przez przeciwne, czyli wylosowano albo \(\displaystyle{ 0}\) białych albo \(\displaystyle{ 1}\).
Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

Prawdopodobieństwo Urny

Post autor: Grzegorz t »

Moje obliczenia:

\(\displaystyle{ P = 1-[ \left( \frac{2}{5}^\right)^4 \cdot \frac{2}{5}+ (\frac{2}{5})^3 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}+ (\frac{2}{5})^4 \cdot \frac{3}{5}]=1- \frac{152}{3125}= \frac{2973}{3125}}\)
W odpowiedziach winno być \(\displaystyle{ \frac{2757}{3125}}\)

Czy jest to poprawnie rozwiązane?
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Prawdopodobieństwo Urny

Post autor: mortan517 »

Oznaczmy
\(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie, w którym wylosowano \(\displaystyle{ 4}\) czarne albo \(\displaystyle{ 1}\) białą i \(\displaystyle{ 3}\) czarne, wówczas
\(\displaystyle{ A=\left\{ (B,C,C,C), (C,B,C,C)...\right\}}\)
Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

Prawdopodobieństwo Urny

Post autor: Grzegorz t »

mam trzy sytuacje, są to zdarzenia przeciwne (otrzymamy 0 białych lub jedną białą):

Urna \(\displaystyle{ A: CCCC}\)
Urna \(\displaystyle{ B: B}\)
lub
Urna \(\displaystyle{ A: CCCB}\)
Urna \(\displaystyle{ B: C}\)
lub
Urna A:\(\displaystyle{ CCCC}\)
Urna B:\(\displaystyle{ C}\)
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Prawdopodobieństwo Urny

Post autor: mortan517 »

Aj, mój błąd, jest \(\displaystyle{ 5}\) losowań, nie \(\displaystyle{ 4}\)

\(\displaystyle{ A=\left\{ (B,C,C,C,C), (C,B,C,C,C), (C,C,B,C,C), (C,C,C,B,C), (C,C,C,C,B), (C,C,C,C,C)\right\}}\)
Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

Prawdopodobieństwo Urny

Post autor: Grzegorz t »

losujemy ze zwracaniem, więc myślę, że nie ma znaczenia czy za pierwszym razem czy za drugim wylosujemy kulę czarną.
Awatar użytkownika
mortan517
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3359
Rejestracja: 6 lis 2011, o 15:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krk
Podziękował: 112 razy
Pomógł: 662 razy

Prawdopodobieństwo Urny

Post autor: mortan517 »

Kolejność ma znaczenie, bo musisz odjąć te wszystkie wyniki, to nie kombinacje.
Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

Prawdopodobieństwo Urny

Post autor: Grzegorz t »

\(\displaystyle{ P = 1-[ \left( \frac{2}{5}^\right)^4 \cdot \frac{2}{5}+4 \cdot (\frac{2}{5})^3 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}+ (\frac{2}{5})^4 \cdot \frac{3}{5}]=1- \frac{368}{3125}= \frac{2757}{3125}}\)

Ok rozumię i dziękuję za pomoc.

W pierwszym przypadku mamy 4 możliwości, że z urny A otrzymano trzy czarne i jedną kulę białą stąd mnożenie przez 4.
ODPOWIEDZ