Wykorzystanie CTG

[Tom320]

Niech \(\displaystyle{ ( a_{n}) _{n=1}^{\infty}}\) będzie ciągiem dodatnich liczb rzeczywistych i niech \(\displaystyle{ ( X_{n}) _{n=1}^{\infty}}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym \(\displaystyle{ U(-a_n, a_n)}\). Weźmy \(\displaystyle{ s_n^2= \sum_{k=1}^{\infty} VarX_k}\). Zbadać czy ciąg zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_1+...+X_n)/s_n}\) jest zbieżny według rozkładu przyjmując, że ciąg \(\displaystyle{ ( a_{n}) _{n=1}^{\infty}}\) jest ograniczony i \(\displaystyle{ (s_n)_{n=1}^{\infty}}\) dąży do nieskończoności. Co się stanie, gdy \(\displaystyle{ a_n=2^{-n/2}}\)? Czy ciąg będzie miał wtedy punkt skupienia?