Mam rozkład jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ (a,5)}\).
Mam znaleźć estymator parametru a metoda momentów korzystając z
a) Pierwszego momentu
b) Drugiego
c) Czy estymatory są równe?
a)
Wartość oczekiwana to \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}= \frac{a+5}{2}}\)
przyrównuje do \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X _{i}}\)
dostaje \(\displaystyle{ a= \frac{2}{n} * \sum_{i=1}^{n}X _{i} -5}\)
b)
\(\displaystyle{ EX ^{2} = \int_{a}^{b}x ^{2}*f(x)dx}\) gdzie \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{b-a} = \frac{1}{5-a}}\) i jest gęstością
podstawiam wynik i dostaje:
\(\displaystyle{ \frac{a ^{2} +5a +25 }{3} = \frac{1}{n}* \sum_{i=1}^{n}X _{i} ^{2}}\)
Tu sie zacinam. Nie wiem czy robię to dobrze i nie wiem co zrobić dalej. Jakieś wskazówki?
Znaleźć estymator metoda momentow
-
jackie
- Użytkownik
- Posty: 100
- Rejestracja: 4 gru 2011, o 10:50
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 40 razy
Znaleźć estymator metoda momentow
Juz poprawiłam potęgę;P
Czy to ma mieć rozwiązanie w liczbach zespolonych?
Żeby policzyć c) muszę porównać a z pierwszego pkt i drugiego tak?
Czy to ma mieć rozwiązanie w liczbach zespolonych?
Żeby policzyć c) muszę porównać a z pierwszego pkt i drugiego tak?
-
Adifek
- Użytkownik
- Posty: 1567
- Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 398 razy
Znaleźć estymator metoda momentow
Ja bym to zrobił tak:
\(\displaystyle{ \widehat{\mathbb{E}X} = \overline{X} \\ \\
\widehat{\mathbb{E}X^2} = \overline{X^2}}\)
Dla rozkładu \(\displaystyle{ U(a,5)}\):
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \frac{a+5}{2} \\
VarX = \mathbb{E}X^2- (\mathbb{E}X)^2 = \frac{(a-5)^ 2}{12} \ \Rightarrow \ \mathbb{E}X^2 =\frac{(a-5)^ 2}{12} + \frac{(a+5)^2}{4}= \frac{a^2 +5a+25}{3}}\)
Stąd:
a)
\(\displaystyle{ \widehat{a} = 2\overline{X} -5}\)
b)
\(\displaystyle{ a^2 +5a+25 = 3\overline{X^2} \\
a^2 +5a+25 - 3\overline{X^2} =0 \\
\Delta = 25 - 4(25-3 \overline{X^2}) =-75+12\overline{X^2} \\ \\
\widehat{a} = \frac{-5 \pm \sqrt{12\overline{X^2}-75 }}{2}}\)
Jak widać ten estymator nie jest rozsądny, zwłaszcza, że z dodatnim prawdopodobieństwem nie będzie istniał.
Najlepiej pewnie zastosować taki mieszany estymator - skorzystać z obu momentów:
\(\displaystyle{ \widehat{ Var X } = \widehat{ \mathbb{E}X^2 } - \widehat{( \mathbb{E}X)^2 } \\ \\
\frac{(a-5)^ 2}{12} = \widehat{ \mathbb{E}X^2 } - \widehat{( \mathbb{E}X)^2 } \\
\widehat{a} =5 - \sqrt{ 12[\widehat{ \mathbb{E}X^2 } - \widehat{( \mathbb{E}X)^2 } ] } = 5 - \sqrt{ 12[ \overline{X^2} - (\overline{X})^2 ] }}\)
Ten już jest dobrze określony (z nierówności Schwarza) oraz nie ma problemu z \(\displaystyle{ \pm}\), bo wiadomo, że \(\displaystyle{ a<5}\).
\(\displaystyle{ \widehat{\mathbb{E}X} = \overline{X} \\ \\
\widehat{\mathbb{E}X^2} = \overline{X^2}}\)
Dla rozkładu \(\displaystyle{ U(a,5)}\):
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X = \frac{a+5}{2} \\
VarX = \mathbb{E}X^2- (\mathbb{E}X)^2 = \frac{(a-5)^ 2}{12} \ \Rightarrow \ \mathbb{E}X^2 =\frac{(a-5)^ 2}{12} + \frac{(a+5)^2}{4}= \frac{a^2 +5a+25}{3}}\)
Stąd:
a)
\(\displaystyle{ \widehat{a} = 2\overline{X} -5}\)
b)
\(\displaystyle{ a^2 +5a+25 = 3\overline{X^2} \\
a^2 +5a+25 - 3\overline{X^2} =0 \\
\Delta = 25 - 4(25-3 \overline{X^2}) =-75+12\overline{X^2} \\ \\
\widehat{a} = \frac{-5 \pm \sqrt{12\overline{X^2}-75 }}{2}}\)
Jak widać ten estymator nie jest rozsądny, zwłaszcza, że z dodatnim prawdopodobieństwem nie będzie istniał.
Najlepiej pewnie zastosować taki mieszany estymator - skorzystać z obu momentów:
\(\displaystyle{ \widehat{ Var X } = \widehat{ \mathbb{E}X^2 } - \widehat{( \mathbb{E}X)^2 } \\ \\
\frac{(a-5)^ 2}{12} = \widehat{ \mathbb{E}X^2 } - \widehat{( \mathbb{E}X)^2 } \\
\widehat{a} =5 - \sqrt{ 12[\widehat{ \mathbb{E}X^2 } - \widehat{( \mathbb{E}X)^2 } ] } = 5 - \sqrt{ 12[ \overline{X^2} - (\overline{X})^2 ] }}\)
Ten już jest dobrze określony (z nierówności Schwarza) oraz nie ma problemu z \(\displaystyle{ \pm}\), bo wiadomo, że \(\displaystyle{ a<5}\).