Prawdopodobieństwo klasyczne - problem.

[Rzucamrybami]

Witam serdecznie. Zbliża się kolokwium z probabilistyki i nie daje mi spokoju poniższe zadanie. Będę bardzo wdzięczny za pomoc.

Ze zbioru \(\displaystyle{ Z_{n}=\lbrace1, 2, ..., n\rbrace}\) losujemy dwie liczby. Oblicz prawd. zdarzenia, że druga z wylosowany liczb będzie większa od pierwszej, jeśli losowanie jest:
a) ze zwrotem
b) bez zwrotu

Niech \(\displaystyle{ A_{a}, A_{b}}\) oznaczają zdarzenia, że druga z wylosowany licz będzie większa od pierwszej w losowaniu a) i b).

\(\displaystyle{ |\Omega_{a}|=n^{2}, |\Omega_{b}|=n^{2}-n, |A_{a}|=|A_{b}|=\frac{n^{2}-n}{2}}\)

I tutaj właśnie nie rozumiem dlaczego \(\displaystyle{ |A_{a}|=|A_{b}|=\frac{n^{2}-n}{2}}\).

[qwe771]

\(\displaystyle{ A _{a}}\) i \(\displaystyle{ A _{b}}\) to zbior zdarzen el. sprzyjajacych temu ze druga bedzie od pierwszej wieksza.

Losowanie ze zwracaniem różni się od tego bez, że może się nam powtórzyć wynik (w przypadku gdy losujemy bez zwracania jak raz wylosowalismy 5, to drugi raz jak losujemy to ta liczba juz "znika" i nie mozna jej wylosowac)

Nie ma znaczenia dla tych zbiorow zdarzen czy losujemy z czy bez, bo jak losujemy ze zwracaniem, to nawet jesli wylosujemy dwie takie same liczby, to i tak nie jest to zd. sprzyjajce, bo druga musi byc wieksza od pierwszej (a nie taka sama)

[Rzucamrybami]

Tak, tak, to rozumiem . Nie rozumiem za to skąd taka a nie inna wartość. Dlaczego właśnie \(\displaystyle{ \frac{n^{2}-n}{2}}\)?

[qwe771]

jezeli pierwsza wylosowana liczba to \(\displaystyle{ 1}\), to zostaje nam \(\displaystyle{ n-1}\) tzn (\(\displaystyle{ 2, 3, 4..., n}\)) innych do wyboru ktore spelniaja warunek ze sa wieksze od \(\displaystyle{ 1}\)

jeżeli pierwsza wylosowana to \(\displaystyle{ 2}\) to zotaje nam \(\displaystyle{ n-2}\) do wyboru

....

jeżeli pierwsza wylosowana to \(\displaystyle{ n-1}\) to zostaje nam \(\displaystyle{ 1}\) liczba do wyboru, czyli \(\displaystyle{ n}\)

jeżeli pierwsza wylosowana to \(\displaystyle{ n}\)to zostaje nam \(\displaystyle{ 0}\) do wyboru
\(\displaystyle{ \left( n-1\right) + \left( n-2\right) + ... + 1 + 0 = \frac{n ^{2} -n}{2}}\)