Prawdopodobieństwo przybycia autobusu

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
tajner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 169
Rejestracja: 10 gru 2010, o 15:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 5 razy

Prawdopodobieństwo przybycia autobusu

Post autor: tajner »

Momenty przybycia autobusów\(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależnymi zmiennymi losowymi \(\displaystyle{ X}\),\(\displaystyle{ Y}\) o rozkładzie wykładniczy z parametrami \(\displaystyle{ \alpha}\) \(\displaystyle{ \beta}\).
a) Znajdź rozkład momentu przybycia autobusu \(\displaystyle{ A}\);
b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że autobus \(\displaystyle{ A}\) przyjedzie pierwszy.

W a jasne trzeba zapisać jak wyraża się gestość, ale z b już mam problem.
Ostatnio zmieniony 20 lis 2013, o 18:04 przez tajner, łącznie zmieniany 1 raz.
szw1710

Prawdopodobieństwo przybycia autobusu

Post autor: szw1710 »

Masz więc wyliczyć \(\displaystyle{ P(A<B)=P(A-B<0)}\). Tak więc masz znaleźć dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ A-B}\). Takie rzeczy się robi i są przykłady na forum.
tajner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 169
Rejestracja: 10 gru 2010, o 15:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 5 razy

Prawdopodobieństwo przybycia autobusu

Post autor: tajner »

W treści polecienia zapomniałem dodać, że zmienne losowe nazywają się X i Y. Ale mniejsza o to, proszę o sprawadzenie:
\(\displaystyle{ P(X<Y)= \int_{0}^{+ \infty } \int_{0}^{x} \alpha e^{- \alpha*x } * \beta e^{- \beta*y } \mbox{d}y \mbox{d}x=\int_{0}^{+ \infty }\alpha e^{- \alpha*x } \mbox{d}x* \int_{0}^{x} \beta e^{- \beta*x }\mbox{d}y=1*(1-e^{- \beta x})}\)
Ostatnio zmieniony 20 lis 2013, o 21:39 przez tajner, łącznie zmieniany 3 razy.
Awatar użytkownika
zidan3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 9 kwie 2011, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lbn
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 112 razy

Prawdopodobieństwo przybycia autobusu

Post autor: zidan3 »

Coś jest źle, wynik Ci zależy od \(\displaystyle{ y}\), który nawet nie wiadomo czym jest.
Przelicz jeszcze raz. Mi wyszło \(\displaystyle{ 1-\frac{\beta}{\alpha+\beta}}\). Jak znasz warunkową wartość oczekiwaną lub twierdzenie Fubini'ego dla miar probabilistycznych, to nie trzeba się męczyć ze splotem i szybko wychodzi.
e/ To znaczy chodziło mi o to, że jak to znasz, to uzasadniona jest równość
\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( X<Y\right)=\int_{\mathbb{R}}F_X(y)f_Y(y) \mbox{d}y}\)
Gdzie \(\displaystyle{ F}\) jest dystrybuantą, a \(\displaystyle{ f}\) gęstością odpowiednich rozkładów.
tajner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 169
Rejestracja: 10 gru 2010, o 15:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 5 razy

Prawdopodobieństwo przybycia autobusu

Post autor: tajner »

Nie wiem nic o splotach, war. wartości oczekiwanej, ani nie znam tw. Fubiniego. Korzystam z faktu, że

\(\displaystyle{ \int_{0}^{+ \infty }\alpha e^{- \alpha*x } =1}\) bo jest to gęstość rozkładu wykładniczego oraz tego że całka z iloczynu funkcji zmiennych niezależnych jest równa iloczynowi całek.

\(\displaystyle{ P(X<Y)= \int_{0}^{+ \infty } \int_{x}^{+\infty} \alpha e^{- \alpha*x } * \beta e^{- \beta*y } \mbox{d}y \mbox{d}x=\int_{0}^{+ \infty }\alpha e^{- \alpha*x } \mbox{d}x* \int_{x}^{+\infty} \beta e^{- \beta*y }\mbox{d}y=e^{- \beta*x}}\)

Teraz już chyba granice są dobre, ale nie wiem, czemu wynik jest zły?
Ostatnio zmieniony 20 lis 2013, o 23:10 przez tajner, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
zidan3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 9 kwie 2011, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lbn
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 112 razy

Prawdopodobieństwo przybycia autobusu

Post autor: zidan3 »

Pierwsza równość u Ciebie nie jest prawdziwa.
tajner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 169
Rejestracja: 10 gru 2010, o 15:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 5 razy

Prawdopodobieństwo przybycia autobusu

Post autor: tajner »

Przecież całka z gęstości rozkładu wykładniczego po całym zbiorze liczb dodatnich musi być tu jedynką.
Awatar użytkownika
zidan3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 9 kwie 2011, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lbn
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 112 razy

Prawdopodobieństwo przybycia autobusu

Post autor: zidan3 »

W takim razie chodziło mi o drugą równość.
tajner
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 169
Rejestracja: 10 gru 2010, o 15:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 5 razy

Prawdopodobieństwo przybycia autobusu

Post autor: tajner »

\(\displaystyle{ \int \beta e^{- \beta*y }\mbox{d}y=-e^{ \beta y}}\), Zatem:
\(\displaystyle{ \int_{x}^{+\infty} \beta e^{- \beta*y }{d}y=0-(-e^{\beta x})=-e^{\beta x}}\)

Jeśli granice są dobre i to gdzie ten błąd?
Awatar użytkownika
zidan3
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 694
Rejestracja: 9 kwie 2011, o 10:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lbn
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 112 razy

Prawdopodobieństwo przybycia autobusu

Post autor: zidan3 »

Skąd wziąłeś to?
\(\displaystyle{ P(X<Y)=\int_{0}^{\infty} \int_{x}^{\infty}f_X(x) \cdot f_Y(y) \mbox{d}y \mbox{d}x}\)
gdzie \(\displaystyle{ f}\) to gęstość. To nie jest prawda.
54321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 310
Rejestracja: 21 lis 2009, o 15:25
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 81 razy
Pomógł: 2 razy

Prawdopodobieństwo przybycia autobusu

Post autor: 54321 »

a dlaczego jeden z obszerów całkowanie jest od \(\displaystyle{ x}\) do \(\displaystyle{ \infty}\) skoro to \(\displaystyle{ x<y}\)
ODPOWIEDZ