prawdopodobienstwo , rachunek proawdopodobienstwa

[izuuunia222]

Podrecznik wydano w nakładzie 5 000 egzemplarzy. Prawdopodobienstwo tego, ze podrecznik zostanie zle oprawiony jest równe 0.001. Znalezc prawdopodobienstwo tego, ze w nakładzie pojawia sie co najmniej dwie zle oprawione
ksiazki.

[Powermac5500]

Rozkład dwumianowy - Schemat Bernoulliego

Trzeba policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego czyli, że w nakładzie pojawi się co najwyżej 1 źle oprawiona książka.
I odjąć od jedności.

[zidan3]

Tutaj liczby nie są przypadkowo duże i prawdopodobieństwo przypadkowo małe. Wiemy, że im większa próba tym schemat Bernoulliego bardziej przypomina rozkład Poissona.
\(\displaystyle{ p \cdot n =0.001 \cdot 5000=5}\). Zatem mamy
\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( X \ge 2\right)=1- \left( \mathbb{P}\left( X=0\right) + \mathbb{P}\left( X=1\right) \right)}\)
Teraz korzystamy z twierdzenia Poissona, które przytoczyłem
\(\displaystyle{ \mathbb{P}\left( X=1\right)= {5000 \choose 1}0.001 \cdot \left( 1-0.001\right)^{4999} \approx \frac{5^1}{1!}e^{-5}}\)
podobnie z \(\displaystyle{ X=0}\).
Można też coś powiedzieć o szybkości zbiegania. Błąd przybliżenia jest niewiększy od \(\displaystyle{ \frac{\lambda ^2}{n}}\), czyli w naszym przypadku błąd jest mniejszy niż \(\displaystyle{ \frac{25}{5000}=\frac{1}{200}}\). Więc całkiem nieźle.