Zamiana zmiennej o rozkładzie gaussa na jednostajną.

[omicron]

Witam.

Problem wygląda następująco, mamy:

\(\displaystyle{ X \sim N(0,1) \\
Y=g(X) \\
Y\sim\mathbb{J}([-1,1])}\)

gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{J}([a,b])}\) oznacza rozkład jednostajny na \(\displaystyle{ [a,b]}\).

Szukam funkcji przekształcającej \(\displaystyle{ g}\). Domyślam się, że ma ona przypominać funkcję \(\displaystyle{ \textrm{erf}(X)}\), ale nawet jakby to była ona, to nie mam pomysłu jak to wykazać. Jeśli ktoś wie, to nawet samo rozwiązanie bez dowodu tego że nim jest mi wystarczy.

[zidan3]

Nie policzyłem tego ale może spróbuj coś takiego.
Niech \(\displaystyle{ g : \mathbb{R} \longrightarrow [a,b]}\). Skoro to są rozkłady ciągłe, skorzystamy z "twierdzenia" o odwzorowaniach gładkich. Załóżmy, że taka funkcja \(\displaystyle{ g}\) istnieje, wtedy zachodzi równość gęstości:

\(\displaystyle{ f_{Y}(y)=f_{X}\left( g^{-1}(y)\right)\left| \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} y} g^{-1}(y)\right| 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[a,b]}(y)}\)
Więc w naszym przypadku
\(\displaystyle{ \frac{1}{b-a} 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[a,b]}(y)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(g^{-1}(y))^2}{2}} \left| \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} y} g^{-1}(y)\right| 1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[a,b]}(y)}\)
Jak się teraz zlogarytmuje i zrobi jakieś podstawienie to powinniśmy dostać równanie różniczkowe, które może da się rozwiązać.

Może to w ogóle bez sensu pomysł. Nie wiem. Problem dość fajny, więc na pewno jeszcze pomyślę w wolnej chwili.

W sumie skoro już tu doszedłem, to pójdźmy za ciosem.
Niech \(\displaystyle{ \phi(t)=g^{-1}(t)}\) wtedy mamy (na razie zignoruję moduł dla uproszczenia rachunków)
\(\displaystyle{ e^{-\frac{\phi^2(t)}{2}} \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t} \phi(t)=\frac{\sqrt{2 \pi}}{b-a}}\)
\(\displaystyle{ \phi(t)=\frac{\sqrt{2 \pi}}{b-a} \int e^{\frac{\phi^2(t)}{2}}dt + C}\)
Rzeczywiście, tu będzie jakiś związek z funkcją erf.

[omicron]

Ja zrobiłem coś takiego:

\(\displaystyle{ F_Y(y)=F_X(g^{-1}(y)) \\
g^{-1}(y)=\phi(y) \\
F_X(x)=\frac{1}{2}\left(1+\textrm{erf}\left[\frac{x}{\sqrt{2}}\right]\right) \\
F_Y(y)=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2} \\
\\
\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(1+\textrm{erf}\left[\frac{\phi(y)}{\sqrt{2}}\right]\right) \\
y=\textrm{erf}\left(\frac{\phi(y)}{\sqrt{2}}\right) \\
\phi(y)=\sqrt{2}\textrm{erf}^{-1}(y) \implies g(x)=\textrm{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)}\)

Ma to jakiś sens? Jak to sprawdzić?

W sumie powinno być ok, po wstawieniu \(\displaystyle{ \phi}\) do dystrybuanty rozkładu normalnego dostajemy szukaną funkcję liniową, a poza przedziałem \(\displaystyle{ [-1,1]}\) w oczywisty sposób \(\displaystyle{ f_Y(y)=0}\) bo \(\displaystyle{ g[\mathbb{R}]=[-1,1]}\).

Oczywiście \(\displaystyle{ F_Y(y)=F_X(g^{-1}(y))}\) zachodzi jeśli \(\displaystyle{ g}\) jest rosnąca;