Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartości >2

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
kubzal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 9 kwie 2011, o 23:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 12 razy

Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartości >2

Post autor: kubzal »

Ciągła zmienna losowa ξ ma dystrybuantę F i gęstość rozkładu prawdopodobieństwa
f takie, że f(x) jest ciągła dla x > 1, F(1) = 0, \(\displaystyle{ \frac{f(x)}{1-F(x)} = \frac{1}{x}}\) dla \(\displaystyle{ x>1}\)
Obliczyć P(ξ > 2).
Ostatnio zmieniony 17 lis 2013, o 19:00 przez kubzal, łącznie zmieniany 1 raz.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartości >2

Post autor: norwimaj »

kubzal pisze:\(\displaystyle{ \frac{f(x)}{1-F(x)} = \frac{1}{x}}\)
Ta równość zachodzi dla jakich \(\displaystyle{ x}\)?
kubzal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 9 kwie 2011, o 23:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 12 razy

Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartości >2

Post autor: kubzal »

Sorry, dla \(\displaystyle{ x>1}\)
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartości >2

Post autor: norwimaj »

A ponadto wiemy, że \(\displaystyle{ f}\) jest tam ciągła. Z równości \(\displaystyle{ F'(x)=f(x)}\) mamy dla \(\displaystyle{ x>1}\):

\(\displaystyle{ \frac{F'(x)}{1-F(x)}=\frac1{x},}\)

więc

\(\displaystyle{ \int_1^2\frac{F'(x)}{1-F(x)}\mathrm{d}x=\int_1^2\frac1{x}\mathrm{d}x.}\)

Po lewej stronie w liczniku jest minus pochodna mianownika. Taka całka pachnie logarytmem, prawda?
kubzal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 9 kwie 2011, o 23:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 12 razy

Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartości >2

Post autor: kubzal »

norwimaj pisze: Po lewej stronie w liczniku jest minus pochodna mianownika. Taka całka pachnie logarytmem, prawda?
Przepraszam, ale nie bardzo wiem o czym mówisz. Gdzie jest minus pochodna mianownika ?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartości >2

Post autor: norwimaj »

Jaka jest pochodna \(\displaystyle{ 1-F(x)}\)?
kubzal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 42
Rejestracja: 9 kwie 2011, o 23:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 12 razy

Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartości >2

Post autor: kubzal »

\(\displaystyle{ -F'(x)}\) ale w liczniku jest \(\displaystyle{ F'(x)}\)
Ok, już rozumiem Wybacz mi moje nieogarnięcie
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartości >2

Post autor: norwimaj »

W takim razie funkcją pierwotną dla \(\displaystyle{ \frac{F'(x)}{1-F(x)}}\) jest \(\displaystyle{ -\ln(1-F(x))}\), prawda? Dalej już powinno wszystko pójść łatwo.
ODPOWIEDZ