Znaleźć dystrybuantę

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
tolaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 25 kwie 2011, o 19:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: W.
Podziękował: 14 razy

Znaleźć dystrybuantę

Post autor: tolaa »

Mam zmienną X z rozkładem \(\displaystyle{ g(x)= \frac{3}{8} x^21 _{(0,2)}(x)}\). Muszę znaleźć dystrybuantę \(\displaystyle{ Y=\max \left\{ X,1\right\}}\).

W takim razie mam: \(\displaystyle{ Y=\max \left\{ X,1\right\}= \begin{cases} 1 dla X<1\\ X dla X \ge 1\end{cases}}\).

Szukam \(\displaystyle{ P(Y \le t)=P(\max \left\{ X,1\right\} \le t)}\) i rozdzielam na trzy przypadki:

1) \(\displaystyle{ t \ge 1,t < 2 \rightarrow F_Y= \int_{- \infty }^{0}0 \mbox{d}t +\int_{0}^{t}g \mbox{d}t = \frac{1}{8} t^3}\)

2) \(\displaystyle{ t<1 \rightarrow F_Y= \int_{- \infty }^{0}0 \mbox{d}t+ \int_{t}^{1}g \mbox{d}t = \frac{1}{8} \cdot (1-t^3)}\)

3) \(\displaystyle{ t \ge 2 \rightarrow F_Y=0}\)

Co jest nie tak z drugim przypadkiem? Na ćwiczeniach wynik podany tu jest 0, a nie bardzo wiem skąd. Z góry dziękuję.
Ostatnio zmieniony 19 lis 2013, o 20:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \max. Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu.
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Znaleźć dystrybuantę

Post autor: Adifek »

Zauważ, że dla dowolnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ X ,Y}\) mamy

\(\displaystyle{ P(\max \left\{ X,Y\right\} \le t ) = P(X\le t , Y\le t )}\).

W naszym przypadku:

\(\displaystyle{ P( \max \left\{ X,1\right\} \le t) = P(X\le t , 1\le t ) = P(X\le t ) \cdot P(1\le t) = \\ \\ = F_X (t) \cdot P(1\le t) =\begin{cases} F_X (t) \cdot 0, \quad t <1 \\ F_X (t) \cdot 1, \quad t \ge 1 \end{cases} = \begin{cases} 0, \quad t <1 \\ F_X (t), \quad t \ge 1 \end{cases}}\)

gdzie \(\displaystyle{ F_X(t) = \int_{-\infty}^{t}g(x)dx}\)

W drugiej równości skorzystaliśmy z faktu, że zmienna stała jest wprost z definicji niezależna z każdą zmienną losową.
tolaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 25 kwie 2011, o 19:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: W.
Podziękował: 14 razy

Znaleźć dystrybuantę

Post autor: tolaa »

Wobec tego poprawna odpowiedź to: (?)
\(\displaystyle{ F_Y= \begin{cases} 0, \quad t <1 \\ F_X (t)=\int_{- \infty }^{0}0 \mbox{d}t +\int_{0}^{t}g \mbox{d}t = \frac{1}{8} t^3, \quad t \ge 1 \end{cases}}\)
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Znaleźć dystrybuantę

Post autor: Adifek »

Prawie

\(\displaystyle{ F_Y= \begin{cases} 0, \quad t <1 \\ \frac{1}{8} t^3, \quad 1 \le t <2 \\ 1, \quad t\ge 2 \end{cases}}\)
tolaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 25 kwie 2011, o 19:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: W.
Podziękował: 14 razy

Znaleźć dystrybuantę

Post autor: tolaa »

dziękuję bardzo bardzo bardzo! Podobne pytanie będę miała z minimum (chociaż zdaję sobie sprawę, że to jest bardzo podobne) ale powinnam chyba założyć nowy post?
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Znaleźć dystrybuantę

Post autor: Adifek »

To chyba nie jest konieczne, acz zwiększa czytelność forum dla przeglądających
tolaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 25 kwie 2011, o 19:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: W.
Podziękował: 14 razy

Znaleźć dystrybuantę

Post autor: tolaa »

oj tam oj tam

Tym razem \(\displaystyle{ g(x)= \frac{1}{2}x \cdot 1 _{<0,2>}(x)}\) i \(\displaystyle{ Y=min \left\{ X-1,0\right\}= \begin{cases} X-1, X \le 1\\ 0,X>1\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ F_Y=P(X-1 \le t) \cdot P(0 \le t)=P(X \le t+1) \cdot P(t \ge 0)}\)

Mam \(\displaystyle{ P(X \le t+1)= \begin{cases}t<-1, \quad 0 \\ t \in \left\langle -1,1 \right\rangle, \quad \frac{1}{2} \int_{0}^{t+1}x \mbox{d}x = \frac{1}{4}(t+1)^2 \\ t>1, \quad 1\end{cases}}\)

Czy wobec tego (?)

\(\displaystyle{ F_Y= \begin{cases}t<0, \quad 0 \\ t \in \left\langle 0, 1 \right\rangle, \quad \frac{1}{4}(t+1)^2 \\ t>1, \quad 1\end{cases}}\)
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Znaleźć dystrybuantę

Post autor: Adifek »

Źle. Nie jest prawdą, że

\(\displaystyle{ F_Y=P(X-1 \le t) \cdot P(0 \le t)}\).

Minimum to nie maksimum. Nierówności działają w drugą stronę.
tolaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 25 kwie 2011, o 19:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: W.
Podziękował: 14 razy

Znaleźć dystrybuantę

Post autor: tolaa »

W drugą? hmm.

\(\displaystyle{ P( \min \left\{ X-1,0 \right\} \le t) = P(X-1\ge t , 0 \ge t ) = P(X \ge t+1) \cdot P(t \le 0)}\)

Czy w tym momencie powinnam rozpisać \(\displaystyle{ P(X \ge t+1)=1-P(X \le t+1)}\), potem mnożenie?

I tak, zdaję sobie sprawę, że czasami pytam się o rzeczy, które mogą wydawać się banalne, ale czasami właśnie w takich drobnostkach tkwi szczegół, z którym mam problem.
Adifek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1567
Rejestracja: 15 gru 2008, o 16:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 398 razy

Znaleźć dystrybuantę

Post autor: Adifek »

W drugą, ale nie tak

\(\displaystyle{ 1-P(\min \left\{ X,Y\right\} \le t ) =P( \min \left\{ X,Y\right\} >t ) = P(X>t, Y>t)}\)
tolaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 25 kwie 2011, o 19:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: W.
Podziękował: 14 razy

Znaleźć dystrybuantę

Post autor: tolaa »

a jak dalej?
tolaa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 25 kwie 2011, o 19:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: W.
Podziękował: 14 razy

Znaleźć dystrybuantę

Post autor: tolaa »

Wiem, że odgrzewam kotlety, ale:
Adifek pisze: \(\displaystyle{ F_Y= \begin{cases} 0, \quad t <1 \\ \frac{1}{8} t^3, \quad 1 \le t <2 \\ 1, \quad t\ge 2 \end{cases}}\)
tutaj druga linijka była wyznaczona z: \(\displaystyle{ F_X (t)=\int_{- \infty }^{0}0 \mbox{d}t +\int_{0}^{t}g \mbox{d}t = \frac{1}{8} t^3}\)
Tak się zastanawiam, czemu dolna granica całkowania to 0, a nie 1, biorąc pod uwagę to, że w tym przypadku \(\displaystyle{ 1 \le t <2}\)? (i tak, wiem, że sama to wcześniej rozwiązałam)
ODPOWIEDZ