Gracze A i B rzucają monetą dla której prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi p. Jeśli wypadnie orzeł, to A wygrywa 1$, w przeciwnym przypadku B wygrywa 1$. Załóżmy, że A ma nieograniczony kapitał i gra aż wygra b$. Znaleźć prawdopodobieństwo wygranej gracza A.
Prawdopodobieństwo, że wygra po \(\displaystyle{ n}\) rzutach wynosi
\(\displaystyle{ P(X=n)={{n-1}\choose{b-1}}\left(\dfrac{1}{2}\right)^b\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-b}}\), bo ostatni, n-ty rzut musi wypaść pomyślnie i w ciągu poprzednich n-1 rzutów musi być b-1 dobrych i reszta złych. Więc prawdopodobieństwo wygranej to suma po wszystkich \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ \sum\limits_{n=0}^{\infty}{{n-1}\choose{b-1}}\left(\dfrac{1}{2}\right)^b\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-b}}\)
Tak?