koło o promieniu R. Wyznacz rozkład.

[tolaa]

Z koła o promieniu \(\displaystyle{ R}\) losujemy punkt. Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza odległość wylosowanego
punktu od środka koła. Opisz funkcję \(\displaystyle{ P(X < t)}\) dla \(\displaystyle{ t \in R}\), a następnie wyznacz rozkład zmiennej \(\displaystyle{ X^2}\)

[Kartezjusz]

Niech \(\displaystyle{ x}\) jest odległy od środka koła o \(\displaystyle{ r \le R}\) Ile wyniesie odległość

[brzoskwinka1]

\(\displaystyle{ P(X<t) =\begin{cases} 0 \mbox{ dla } t\leq 0\\\frac{\pi t^2}{\pi R^2} \mbox{ dla } 0<t\leq R \\1 \mbox{ dla } t>R \end{cases} .}\)

[tolaa]

oo, dziękuję!
Czy jeżeli teraz chcę wyznaczyć rozkład \(\displaystyle{ Y=X^2}\) tzn. że muszę przedstawić tylko dystrybuantę albo tylko gęstość, czy i to i to? (oczywiście wiem, że nie zawsze da się gęstość)

Mam więc \(\displaystyle{ P(Y<t)=P(X^2<t)=P(X< \sqrt{t})+P(X>- \sqrt{t})}\)
Czy jedynym i najprostszym wyjściem będzie teraz obliczenie gęstości rozkładu X, a następnie wykorzystanie go przy obliczaniu dystrybuanty Y, czy może da się to zrobić wykorzystując jedynie dystrybuantę X?

[Kartezjusz]

Równe rozkłady mają równe dystrybuanty, czyli wystarczy.