Rozkład jednostjny, jak rozumiec ten wzór ?

[kubzal]

Witam. W swoim zbiorze z rachunku prawdopodobieństwa ( )mam taką definicję rozkładu i wzór na rozkład jednostajny:

Def. Zmienna losowa ξ ma rozkład jednostajny U(a, b) na przedziale (a, b), jeżeli jej
funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa określona jest wzorem
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{b-a} 1 _{(a,b)} (x)}\).

Powiem szczerze, że nie wiem jak korzystać z tego wzoru. Nurtuje mnie ta jedynka, która w zbiorze jest jeszcze pogrubiona.

W internecie znalazłem inaczej wyglądający wzór na funkcje gęstości rozkładu jednostajnego zmiennej losowej ciągłej
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 0; dla ( x<a ) \\ \frac{1}{b-a}; dla (a \le x \le b )\\ 0; dla (x>b ) \end{cases}}\)

Czy te wzory są równoważne?
Jak rozumieć tę jedynkę?

[chris_f]

Jest to tzw. funkcja charakterystyczna zbioru: przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 1}\) dla elementów zbioru (w tym przypadku przedziału \(\displaystyle{ (a,b)}\)) oraz \(\displaystyle{ 0}\) dla wszystkich pozostałych elementów.

[kubzal]

Ok chyba rozumiem, czyli \(\displaystyle{ 1 _{(a,b)}(x)}\) to funkcja przyjmująca wartość 1 lub 0 (jak znalazłem to tzw. funkcja Dirichleta). Jeżeli \(\displaystyle{ x}\) jest z przedziału \(\displaystyle{ (a,b)}\) to przyjmuje wartość 1, w przeciwnym wypadku 0.
\(\displaystyle{ \frac{1}{b-a}}\) pomnożone przez funkcję \(\displaystyle{ 1 _{(a,b)}(x)}\) daje to samo co ten drugi zapis, mam rację ?

[chris_f]

Zgadza się, tylko, że funkcja Dirichleta jest specjalnym przypadkiem funkcji charakterystycznej - nie należy tego mylić, dokładniej funkcję Dirichleta można zapisać jako \(\displaystyle{ \text{\bf 1}_{\mathbb{Q}}}\)