Jeden rzut dwiema kostkami i szansa na tylko jedną trójkę.

[ten_od_kostek]

Witam serdecznie.
Tytułem wstępu chciałem się przywitać. Zainteresowanych treścią zadania od razu odsyłam pod kreskę, by oszczędzić czasu na czytanie "pitu pitu"
Dziś dostałem zadanie, które zostało jak się okazało ostatecznie prawdopodobnie błędnie przepisane, ale jednak zainteresowało mnie na tyle, że nie daje mi teraz spokoju.
Ale nie potrafię zrozumieć do końca jak do niego podejść.
Z góry dziękuję za wykładnię. Sam wynik obarczony pewnością 100% poprawności też mi wystarczy.

-----------------

Rzucam jeden raz dwoma idealnymi, identycznymi kostkami sześciennymi. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że tylko na jednej z kostek wypadną dokładnie 3 oczka?

-----------------
Taki oczywisty to \(\displaystyle{ \frac{10}{36}}\), ja jednak skłaniałem się na początku do \(\displaystyle{ \frac{5}{21}}\). Mógłbym prosić o definitywne rozwianie moich wątpliwości?

[miodzio1988]

Pokaż jak Ty to liczysz. bardzo proszę

Btw Ty na pewno źle

[ten_od_kostek]

Mój sposób myślenia jest następjący:
Nie uwzględniając kolejności wyrzucenia oczek (wszak ta nas nie interesuje tutaj), możliwe są następujące pary:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,4) (4,5) (4,6)
(5,5) (5,6)
(6,6)

Pominąłem odwrotności (np. (2,1), (3,1) itd.), bo kolejność par nie ma znaczenia. Czyli na moje to (1,2) i (2,1) to to samo zdarzenie. I go nie rozbijam na dwa różne, bo nie rzucam dwa razy, gdzie miałoby to sens.

Pozostaje iloraz ilości par spełniających warunki zadania (pogrubione) oraz wszystkich możliwych i mamy prawdopodobieństwo równe \(\displaystyle{ \frac{5}{21}}\).

Jednak rozważanie drugie uwzględnia wszystkie pary. Kostki są dwie i czasem może wypaść jedynka na jednej, a trójka na drugiej, a innym razem odwrotnie.
Więc mamy kompletną tablicę:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

I odpowiednio prawdopodobieństwo zdarzenia równe \(\displaystyle{ \frac{10}{36}}\).

Z jakiegoś powodu jednak moja mózgownica skłania się ku pierwszemu rozważaniu. Proszę o wyprowadzenie z błędu.

[miodzio1988]

Dwie rzeczy:

Suma nas interesuje, ale wszystkie zdarzenia zawierają jednak i te zamienione o wspolrzedne pary. Kolejność ma znaczenie.

Można to praktycznie sprawdzić robią próbe np na 100000 próbie. W komputerze nie jest to trudne do wykonania

[ten_od_kostek]

Już robiłem na milionie prób, ale niepokoiło mnie to, że dałem 2 zmienne losowe, które na moje złe rozumowanie uwzględniały kolejność. Wynik to było oczywiście dążenie do \(\displaystyle{ \frac{10}{36}}\).

Dokopałem się do rzutu trzema kostkami, i wszystko wskazuje na to, że prawidłowy jest tylko drugi wynik.
Bez uwzględniania kolejności para (1,2) (czyli też (2,1)) ma większe prawdopodobieństwo niż para (1,1), (2,2) itd. więc nie można zastosować prostego sumowania z założeniem, że każda z tych par ma równe szanse na wyrzucenie.

Mimo tego, że kostki są idealne, to jeden rzut dwoma na raz jest tożsamy z dwoma rzutami jedną kostką.

Zanim skasuję, dla potomnych php

Kod: Zaznacz cały

<?php
$petle = 1000000;
$ilosc = 0;

for ( $i=0; $i<$petle; $i++ ) {

	$a = mt_rand(1,6);
	$b = mt_rand(1,6);

	if ( $a == 2 && $b != 2 || $a !=2 && $b == 2 ) $ilosc++;

}

echo 'Prawdopodobieństwo: '. round($ilosc/$petle, 2) .'<br>';

echo '5/21 = '. round(5/21, 2) .'<br>';
echo '10/36 = '. round(10/36, 2) .'<br>';

?>

[miodzio1988]

Już robiłem na milionie prób, ale niepokoiło mnie to, że dałem 2 zmienne losowe, które na moje złe rozumowanie uwzględniały kolejność.

No to gdzie jest problem jak to empirycznie sprawdziłeś?

Mimo tego, że kostki są idealne, to jeden rzut dwoma na raz jest tożsamy z dwoma rzutami jedną kostką.

To prawda i co z tego? Pstwa się wtedy zgadzają, w mianownikach masz \(\displaystyle{ 36}\) bazowo

[ten_od_kostek]

Jejku, problem był w tym, że sprawdzać to sobie mogę, ale co mi to da jak sam nie jestem pewny metodyki sprawdzania. I jak piszę wyżej skoro miałem błędny tok rozumowania, to sam widziałem, że puszczenie pętelki nie pokrywało się z moim tokiem rozumowania.

Po prostu potrzebowałem kogoś, kto mnie w tym upewni. A podsumowanie o tożsamości rzutów napisałem, bo nie lubię urwanych wątków na forach.
Mniejsza z tym, znalazłem co chciałem. Dziękuję za pomoc.