Wykazać, że proces jest martyngałem

[studenttt91]

Jak wykazać, że proces \(\displaystyle{ X_t = e^{\lamba W_t - \frac{1}{2} \lambda ^2 t}}\) jest martyngałem?
Próbowałem tak:
\(\displaystyle{ E \left( e^{ \lamba W_t - \frac{1}{2} \lambda ^2 t} | \mathcal{F} \right) =E \left( e^{ \lamba W_t - \frac{1}{2} \lambda ^2 t - \lamba W_s - \frac{1}{2} \lambda ^2 s + \lamba W_s - \frac{1}{2} \lambda ^2 s} | \mathcal{F} \right)}\) \(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ E \left( e^{ \lamba (W_t -W_t) - \frac{1}{2} \lambda ^2 (t-s)} e^{ \lamba W_s - \frac{1}{2} \lambda ^2 s} | \mathcal{F} \right) =E \left( e^{ \lamba (W_t -W_t) - \frac{1}{2} \lambda ^2 (t-s)} \right) e^{ \lamba W_s - \frac{1}{2} \lambda ^2 s}}\) Proszę o pomoc.

[Adifek]

\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left( e^{W_t} |W_s\right) = \mathbb{E}\left( e^{W_t - W_s +Ws} |W_s\right) = \mathbb{E}\left( e^{W_t - W_s }e^{W_s} |W_s\right) = e^{W_s} \mathbb{E}\left( e^{W_t - W_s }|W_s\right) = e^{W_s} \mathbb{E}\left( e^{W_t - W_s }\right) = ...}\)

[studenttt91]

Tak samo zrobiłem wyżej. To jak wykazać, że \(\displaystyle{ E \left( e^{W_t - W_s}\right)=1}\)?
\(\displaystyle{ W_t}\) to proces Wienera

[Adifek]

To nie jeden. Przecież znasz rozkład procesu Wienera, więc możesz policzyć Chyba nie oczekujesz, że Ci całki będę liczyć?!