Rozkład Cauchy'ego

[Tifulo]

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład Cauchy'ego, tzn. rozkład z gęstością \(\displaystyle{ g(x)= \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+x^2}}\). Wyznaczyć rozkład zmiennej \(\displaystyle{ \frac{1}{X}}\).

[zidan3]

\(\displaystyle{ \frac{1}{X}}\) ma również rozkład Cauchy'ego. Policz dystrybuantę rozkładu \(\displaystyle{ \frac{1}{X}}\) i aby uzyskać gęstość - zróżniczkuj ją (możemy, bo wyjdzie ciągła).
Przyda się https://www.matematyka.pl/298501.htm

-- 4 lis 2013, o 00:11 --

Jeśli wiesz coś o funkcji charakterystycznej, to też łatwo można pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ X_1, X_2, ...}\) są niezależne o rozkładzie Cauchy'ego, to wtedy \(\displaystyle{ \frac{X_1+...+X_n}{n}}\) ma też rozkład Cauchy'ego

[Tifulo]

i aby uzyskać gęstość - zróżniczkuj ją

a nie jest tak, że mamy już gęstość i wystarczy policzyć tylko dystrybuantę \(\displaystyle{ \frac{1}{X}}\) ?

\(\displaystyle{ Y= \frac{1}{X}}\)

\(\displaystyle{ P(Y \le t)=P( \frac{1}{X} \le t) = P(X \ge \frac{1}{t})}\)

Czy ostatnia równość jest poprawna? Czy \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ X}\) jest większe od zera?

[zidan3]

Ostatnia równość jest prawdziwa. \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ X}\) mogą być ujemne.
Mi chodziło o gęstość rozkładu \(\displaystyle{ \frac{1}{X}}\).

[Tifulo]

Ostatnia równość jest prawdziwa. \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ X}\) mogą być ujemne.

Skoro mogą być ujemne to dlaczego ostatnia równość jest prawdziwa?


Idąc dalej mam:
\(\displaystyle{ P(Y \le t)=P( \frac{1}{X} \le t) = P(X \ge \frac{1}{t})= \int_{\frac{1}{t}}^{ \infty } \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+x^2} \mbox{d}x =\frac{1}{\pi} \cdot \arctg x |_{\frac{1}{t}}^{ \infty }= \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \arctg \left( \frac{1}{t} \right)}\)

Dobrze?
Co dalej? Jakie są następne kroki?

[zidan3]

Wiesz w ogóle po co liczyłeś dystrybuantę? Czy tak z "nawyku"?

[Tifulo]

zidan3, wstyd się przyznać, ale z nawyku

[zidan3]

Tak też myślałem.
Dystrybuanta jednoznacznie wyznacza rozkład. Więc jeśli dwa rozkłady mają taką samą dystrybuantę, to są takie same.
To właśnie chcesz pokazać.

[Tifulo]

Mam policzyć teraz dystrybuantę \(\displaystyle{ X}\)?

Ostatnia równość jest prawdziwa. \(\displaystyle{ t}\) i \(\displaystyle{ X}\) mogą być ujemne.

Skoro mogą być ujemne to dlaczego ostatnia równość jest prawdziwa?

[zidan3]

\(\displaystyle{ t}\) się nie zmieniło od początku, jeśli było ujemne, to było też ujemne w pierwszej równości. Liczba \(\displaystyle{ t}\) jest ustalona.
Jak chcesz, to policz dystrybuantę \(\displaystyle{ X}\) wyjdzie "optycznie" inna.
Gęstość rozkładu, podobnie jak dystrybuanta jednoznacznie wyznacza rozkład. Proponuję więc, zróżniczkować dystrybuantę \(\displaystyle{ Y}\) - tak otrzymasz gęstość (bo dystrybuanta jest ciągła). Jeśli gęstość \(\displaystyle{ Y}\) będzie taka sama jak, ta Cauchy'ego, to masz zadanie zrobione.

[Tifulo]

\(\displaystyle{ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \arctg \left( \frac{1}{t} \right) \right)'= \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+t^2}}\)

To jest koniec zadania? Co należy na koniec napisać?

[zidan3]

Skoro gęstość zmiennej \(\displaystyle{ X}\) jest taka sama jak gęstość zmiennej \(\displaystyle{ \frac{1}{X}}\), to te zmienne losowe mają taki sam rozkład.

[Tifulo]

zidan3, a jaki jest rozkład \(\displaystyle{ X}\)? Pewnie głupie pytanie zadaję.

[zidan3]

A co sam napisałeś w pierwszym zdaniu pierwszego posta?

[Tifulo]

Aaa.

Dobra, to teraz wezmę to w jedną całość i prosiłbym Ciebie byś powiedział czy coś tam trzeba dodać, chciałbym żeby to było matematycznie poprawne (czyli nic nie brakowało, nawet szczegółów).

\(\displaystyle{ Y= \frac{1}{X} \\
P(Y \le t)=P( \frac{1}{X} \le t) = P(X \ge \frac{1}{t})= \int_{\frac{1}{t}}^{ \infty } \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+x^2} \mbox{d}x =\frac{1}{\pi} \cdot \arctg x |_{\frac{1}{t}}^{ \infty }= \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \arctg \left( \frac{1}{t} \right) \\
\left( \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi} \arctg \left( \frac{1}{t} \right) \right)'= \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+t^2}}\)

Zatem rozkład zmiennej \(\displaystyle{ \frac{1}{X}}\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{\pi} \frac{1}{1+t^2}}\).

U mnie na zajęciach było "Wyznacz rozkład Y" = "Wystarczy wyznaczyć dystrybuantę Y", to teraz sam nie wiem po co liczyliśmy pochodną?