zadania z kartami, okrągłym stołem i dowód.

[gelusia]

Witam, prosiłabym o sprawdzenie i pokazanie błędów, które popełniłam w toku rozumowania.

1) Z \(\displaystyle{ 52}\)kart wybrano \(\displaystyle{ 13}\). Jaka jest szansa otrzymania:
a) 5 pików, 4 kierów, 3 trefli i 1 karo?
Ten podpunkt zrobiłam tak: \(\displaystyle{ {13\choose 5}{13\choose 4}{13\choose 3}{13\choose 1}}\)
b) układu 5-4-3-1.
Tu pojawia się pewnien problem bo układ rozumiemy, że kazdy kolor może być na każdym miejscu.
Wpadłam na rozwiązanie z permutacja czyli wynik z a) wymnożyć przez \(\displaystyle{ 4!}\)
c) układ 5-3-3-2.
I według mnie zasadne by było aby wymnozyć przez \(\displaystyle{ 3!}\) ponieważ występuje układ 3-3 czyli nie wazne będzie które w jakiej kolejności wyspąpi.
d) układ 4-4-4-1.
Analogicznie do c).

2) Przy okrągłym stole usiadło 10 dziewcząt i 10 chłopców. Jaka jest szansa, że osoby tej samej płci nie usiądą obok siebie.

\(\displaystyle{ \left|\Omega \right| = 20!}\)20 osób do posadzenia.
Natomiast \(\displaystyle{ \left|A \right|= \frac{2*9!*10!}{19!}}\). Wybieramy jedną osobei reszte usadzamy względem niej. Moze być to dz i ch więc bierzemy 2 możliwości.

3) Udowodnić, że \(\displaystyle{ P(A_{1} \wedge A_{2} \wedge....\wedge A_{n}) \le P(A_{1})+P(A_{2})+...+P(A_{n})}\). Wydaje się proste, ale jakoś mi nić nie wychodzi. Proszę o jakąś podpowiedź z czego skorzystać.

[mat_61]

1c) Twój pomysł nie jest dobry.

Zauważ, że samo wybranie dwóch kolorów spośród czterech z których będą po trzy karty daje \(\displaystyle{ {4 \choose 2} =6}\) możliwości.

Musisz albo skorzystać z permutacji z powtórzeniami, albo kolejno uwzględnić wybór dwóch kolorów dla układu \(\displaystyle{ 3-3}\) a następnie dwóch pozostałych kolorów dla układu \(\displaystyle{ 5-2}\)

1d) Analogicznie jak 1c)

2) Jeżeli miejsca są nierozróżnialne (a przyjęło się, że okrągły stół jest synonimem nierozróżnialnych miejsc) to \(\displaystyle{ \left|\Omega \right| \neq 20!}\).

Zauważ, że wyliczona przez Ciebie wartość \(\displaystyle{ |A|}\) jest liczbą mniejszą od zera.

[vpprof]

Witam, prosiłabym o sprawdzenie i pokazanie błędów, które popełniłam w toku rozumowania.

1) Z \(\displaystyle{ 52}\)kart wybrano \(\displaystyle{ 13}\). Jaka jest szansa otrzymania:
a) 5 pików, 4 kierów, 3 trefli i 1 karo?
Ten podpunkt zrobiłam tak: \(\displaystyle{ {13\choose 5}{13\choose 4}{13\choose 3}{13\choose 1}}\)

To jest odpowiedź na pytanie: „Na ile sposobów można wybrać…”. Teraz trzeba by ją było podzielić przez liczbę sposobów, w jakie można wybrać \(\displaystyle{ 13}\) kart z \(\displaystyle{ 52}\) i uprościć czyli \(\displaystyle{ \frac{{13\choose 5}{13\choose 4}{13\choose 3}{13\choose 1}}{ {52 \choose 13} } = \frac{\left( 13!\right)^4 13! 39! }{5!8!4!9!3!10!2!11!1!12!52!}=…}\) itd.

b) układu 5-4-3-1.
Tu pojawia się pewnien problem bo układ rozumiemy, że kazdy kolor może być na każdym miejscu.
Wpadłam na rozwiązanie z permutacja czyli wynik z a) wymnożyć przez \(\displaystyle{ 4!}\)

Rozumiem, że chodzi o pięć kart jednego koloru, cztery innego itd. — wtedy OK.

c) układ 5-3-3-2.
I według mnie zasadne by było aby wymnozyć przez \(\displaystyle{ 3!}\) ponieważ występuje układ 3-3 czyli nie wazne będzie które w jakiej kolejności wyspąpi.

Niestety nie. Gdyby kolejność trójek się liczyła, mogłabyś przypisać kolory na \(\displaystyle{ 4!}\) sposobów, tak jak w poprzednim przykładzie. Ponieważ jednak kolejność się nie liczy, to każde przypisanie będzie jednym z \(\displaystyle{ 2!}\) identycznych przypisań (np. przypisanie ♥♦♣♠ będzie równoważne ♥♣♦♠). Wynika to ze wzoru na kombinacje z powtórzeniami (kombinacje trzech numerów: 5,3,2, z których jeden powtarza się dwa razy — ustawiamy je na 4 miejscach reprezentujących kolory kart). Odpowiedź trzeba więc pomnożyć przez \(\displaystyle{ \frac{4!}{2!}}\).

d) układ 4-4-4-1.
Analogicznie do c).

Analogicznie, \(\displaystyle{ \frac{4!}{3!}}\).

Pozostałe były na forum, to ze stołem nawet dość niedawno, jak znajdę to zalinkuję.