Rozkład warunkowy

[studenttt91]

Mam wyznaczyć rozkład warunkowy \(\displaystyle{ E \left( X | X+Y \right)}\) gdzie \(\displaystyle{ X,Y}\) to niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie Poissona z parametrem \(\displaystyle{ \lambda}\)

Robiłem tak:
Ogólnie \(\displaystyle{ E \left( X | y_{k}\right) = \sum_{i} x_{i} p(x_i | y_k)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ p(x_i | y_k)= \frac{P(X=x_i , Y=y_k)}{P(Y=y_k)}}\), ale gdy zmiene są niezależne to
\(\displaystyle{ p(x_i | y_k)= P(X=x_i)}\)
Czyli
\(\displaystyle{ E \left( X | y_{k}\right)=\sum_{i} x_{i} P(X=x_i)}\)
W naszym przypadku
\(\displaystyle{ E \left( X | y_{k}\right)= \sum_{n=0}^{\infty} n \frac{\lambda ^{n}}{n!} e^{- \lambda} = \lambda}\) a w odpowiedzi jest, że to rozkład Bernoulliego \(\displaystyle{ B(n, \frac{1}{2})}\)

[Adifek]

Zauważmy, że ponieważ \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) mają taki sam rozkład, to z symetrii dostajemy:

\(\displaystyle{ X+Y = \mathbb{E}(X+Y|X+Y)= \mathbb{E}(X|X+Y)+ \mathbb{E}(Y|X+Y) \stackrel{D}{=} 2\mathbb{E}(X|X+Y)}\)

Czyli \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X|X+Y) = \frac{X+Y}{2}}\), więc \(\displaystyle{ \mathbb{E}(X|X+Y)\sim Poiss(\lambda)}\)


A co do Twojego sposobu, to robiłeś źle

\(\displaystyle{ P(X=k, X+Y=n) = \begin{cases} 0, \quad n<k\\ \frac{P(X=k,X+Y=n)}{P(X+Y=n)}, \quad n\ge k \end{cases} =\begin{cases} 0, \quad n<k\\ \frac{P(X=k,Y=n-k)}{P(X+Y=n)}, \quad n\ge k \end{cases} = \begin{cases} 0, \quad n<k\\ \frac{P(X=k)P(Y=n-k)}{P(X+Y=n)}, \quad n\ge k \end{cases}}\)