Wykazać, że proces jest martyngałem

[nowyyyy4]

Wykazać, że proces \(\displaystyle{ W_{t}^{2} -t}\), gdzie \(\displaystyle{ W_t}\) jest procesem Wienera, jest martyngałem ( Filtracja to \(\displaystyle{ \mathcal{F}_{t} = \sigma \left( W_s : s \le t \right)}\) )
\(\displaystyle{ E \left( W_{t}^{2} -t | \mathcal{F}_{s} \right) = E \left( W_{t}^{2} -t | W_s \right)}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ E \left( W_{t}^{2} -t + W_{s}^{2}-W_{s}^{2} | W_s \right) = E \left( W_{t}^{2}-W_{s}^{2} | W_s \right) + E \left( W_{s}^{2} | W_s \right)- E \left( t | W_s \right)}\) i dalej nie wiem jak, proszę o pomoc.

[studenttt91]

Też próbowałem to zadanie rozwiązać:
\(\displaystyle{ E \left( W_{t}^{2}-W_{s}^{2} | W_s \right) + E \left( W_{s}^{2} | W_s \right)- E \left( t | W_s \right)= E \left( (W_{t}-W_{s}) (W_{t}+W_{s}) | W_s \right) + W_{s} E \left( W_{s} | W_s \right)- E \left( t | W_s \right)=(W_{t}+W_{s}) E \left( (W_{t}-W_{s}) | W_s \right)+ W_{s}^{2}-s =(W_{t}+W_{s}) \cdot 0+ W_{s}^{2}-s = W_{s}^{2}-s}\)
Tylko nie wiem czy zachodzą takie własności:
\(\displaystyle{ (W_{t}+W_{s})}\) jest \(\displaystyle{ W_{s}}\)-mierzalna, dlatego można ją wyciągnąć przed
oraz
\(\displaystyle{ E \left( t | W_s \right)=s}\). Mógłby ktoś sprawdzić?

[Adifek]

Źle.
\(\displaystyle{ (W_t +W_s)}\) nie jest \(\displaystyle{ W_s}\)-mierzalna.
\(\displaystyle{ t}\) jest ustalone, nie jest losowe. Jest więc mierzalne względem KAŻDEGO sigma ciała. \(\displaystyle{ \mathbb{E}(t|W_s)=t}\).


Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}[W_t^2|W_s] = \mathbb{E}[W_t^2|W_s] = \mathbb{E}[(W_t-W_s)^2 + 2W_s(W_t-W_s) + W_s^2|W_s] = \\ \\=
\mathbb{E}[(W_t-W_s)^2|W_s] +\mathbb{E}[ 2W_s(W_t-W_s)|W_s] + \mathbb{E}[W_s^2|W_s] = \\ \\=
\mathbb{E}(W_t-W_s)^2 + 2W_s\mathbb{E}(W_t-W_s) + W_s^2 = (t-s) + 0 + W_s^2 = W_s^2-s +t}\)

Jakby coś, to pytajcie

[studenttt91]

Dlaczego \(\displaystyle{ \mathbb{E}\left ((W_t-W_s)^2 | W_{s} \right) = \mathbb{E}(W_t-W_s)^2}\)? Bo tylko \(\displaystyle{ (W_t-W_s)}\) i \(\displaystyle{ W_{s}}\) są niezależne. Bo funkcja borelowska (w tym przypadku \(\displaystyle{ x^2}\) zachowuje niezależność?)

[Adifek]

Tak. Niech \(\displaystyle{ X, Y}\) będą niezależne oraz niech \(\displaystyle{ f}\) będzie borelowska. Pokażemy, że \(\displaystyle{ f(X), Y}\) są niezależne.

Niech \(\displaystyle{ A,B}\) borelowskie. Mamy, że:

\(\displaystyle{ P(f(X)\in A,Y\in B)=P(X\in f^{-1}(A), Y\in B) = P(X\in f^{-1}(A))P(Y\in B)=P(f(X)\in A)P(Y\in B)}\)

[lokyh]

Czemu warunkujemy po \(\displaystyle{ W{s}}\) ?