Funkcje charakterystyczne, rzut monetą.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Paulina1812
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 20 cze 2013, o 19:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Funkcje charakterystyczne, rzut monetą.

Post autor: Paulina1812 »

Rzucamy monetą dla której prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi p aż do momentu gdy uzyskamy n orłów łącznie niekoniecznie pod rząd. Niech \(\displaystyle{ X_{p}}\) oznacza liczbę rzutów. Udowodnij, że \(\displaystyle{ (( \frac{2}{m}X_{ \frac{1}{m} )} )_{m=1}^{+\infty}}\) jest zbieżny wg rozkładu. Zinterpretuj granicę, gdy n=1.
Ostatnio zmieniony 29 paź 2013, o 00:42 przez Paulina1812, łącznie zmieniany 1 raz.
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Funkcje charakterystyczne, rzut monetą.

Post autor: robertm19 »

Zadanie jest fatalnie sformułowane.
Paulina1812
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 20 cze 2013, o 19:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Funkcje charakterystyczne, rzut monetą.

Post autor: Paulina1812 »

Wytłumacz, Proszę, dlaczego.
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Funkcje charakterystyczne, rzut monetą.

Post autor: robertm19 »

\(\displaystyle{ X_p}\) oznacza liczbę orłów a wcześniej napisałaś że kończymy rzucać gdy mamy n orłów.
Paulina1812
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 20 cze 2013, o 19:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Funkcje charakterystyczne, rzut monetą.

Post autor: Paulina1812 »

Miałeś rację, poprawiłam nieścisłość w zadaniu, dziękuję za słuszną uwagę
Awatar użytkownika
Mistrz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 637
Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 135 razy

Funkcje charakterystyczne, rzut monetą.

Post autor: Mistrz »

Zaczniemy od obliczenia gęstości \(\displaystyle{ X_p}\), wg mnie jest to \(\displaystyle{ P(X_p=k)={k-1 \choose n-1}p^n(1-p)^{k-n}}\), popraw mnie jeśli się mylę

Wobec tego funkcja charakterystyczna jest \(\displaystyle{ \phi_{X_p}(t)=Ee^{itX_p}=\sum_{k}e^{itk}{k-1 \choose n-1}p^n(1-p)^{k-n}}\)

Rozpoznajemy tutaj po prawej stronie znany wzór na rozwinięcie Taylora wokół zera funkcji \(\displaystyle{ \left(\frac{x}{1-x}\right)^n=\sum_{k}x^k{k-1 \choose n-1}}\), zastosuj go dla \(\displaystyle{ x=e^{it}(1-p)}\)

Po przekształceniach otrzymamy coś takiego: \(\displaystyle{ \phi_{\frac{2}{m}X_{\frac{1}{m}}}(t)=\phi_{X_{\frac{1}{m}}} \left( \frac{2t}{m} \right) = \dots = \frac{\exp\left(\frac{2itn}{m}\right)}{m^n\cdot(1-\exp\left(\frac{2it}{m}\right) \cdot\frac{m-1}{m})^n}}\), co dąży punktowo do \(\displaystyle{ \frac{1}{(1-2it)^n}=\left( \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-it} \right)^n}\). Dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest to funkcja charakterystyczna rozkładu wykładniczego z parametrem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a tak ogólnie (jeśli dobrze pamiętam zasady mnożenia funkcji charakterystycznych) to jest funkcja charakterystyczna sumy \(\displaystyle{ n}\) niezależnych zmiennych o tym rozkładzie. Zbieżność punktowa funkcji charakterystycznych pociąga za sobą zbieżność zmiennych do tego właśnie rozkładu.

To było całkiem ciekawe zadanie. Ciekawe jest też, jak czasem można zupełnie przypadkiem spotkać w internecie kogoś znajomego
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Funkcje charakterystyczne, rzut monetą.

Post autor: robertm19 »

Mistrz, ubiegłeś mnie, miałem to w głowie wczoraj ale było już późno. Oczywiście zmienna \(\displaystyle{ X_p}\) to zmienna o rozkładzie dwumianowym ujemnym. Lub jak kto woli suma n zmiennych o rozkładzie geometrycznym. Oczywiście wynik jest prawidłowy, dodam tylko że zastosowano tu tw. Levy'ego-Cramera oraz, że graniczny rozkład to rozkład Gamma.
Paulina1812
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 20 cze 2013, o 19:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Funkcje charakterystyczne, rzut monetą.

Post autor: Paulina1812 »

Dziękuję Bardzo za pomoc Faktycznie, zadanie ciekawe, ale niestety trudne dlatego jeszcze raz dziękuję
ODPOWIEDZ