Mam policzyć \(\displaystyle{ \pi _{1000,0}}\) gdzie \(\displaystyle{ \pi _{1000,0}=P(X_{1000} = 0)}\)
mając taką macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}0,2&0,8 \\0,4 & 0,6 \end{array}\right]}\)
Wiem że zachodzi wzór
\(\displaystyle{ \left[ \pi _{1000,0}, \pi _{1000,1} \right] = \left[ P(X_{1000} = 0) , P(X_{1000}= 1)\right]}\) \(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ \left[ \pi _{0,0}, \pi _{0,1} \right]\left[\begin{array}{cc}0,2&0,8 \\0,4 & 0,6 \end{array}\right]^{1000}}\). Trzeba to znaleźć nie znając wartości początkowych. Bardzo proszę o pomoc.
Macierz przejścia łańcucha Markowa
-
Naed Nitram
- Użytkownik
- Posty: 121
- Rejestracja: 8 paź 2013, o 17:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hd
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 44 razy
Macierz przejścia łańcucha Markowa
Niech
\(\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}0.2&0.8\\0.4&0.6\end{pmatrix}}\)
\(\displaystyle{ Q:=\begin{pmatrix}-\frac{2}{\sqrt 5}&-\frac{1}{\sqrt 2}\\\\\frac{1}{\sqrt 5}&-\frac{1}{\sqrt 2}\end{pmatrix}}\)
\(\displaystyle{ Q^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{\sqrt 5}{3}&\frac{\sqrt 5}{3}\\\\-\frac{\sqrt 2}{3}&-\frac{2\sqrt 2}{3}\end{pmatrix}}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ Q^{-1}AQ=\frac 15\begin{pmatrix}-1&0\\0&5\end{pmatrix}}\)
skąd
\(\displaystyle{ A^{1000}=Q(Q^{-1}AQ)^{1000}Q^{-1}=Q\cdot\frac{1}{5^{1000}}\begin{pmatrix}1&0\\0&5^{1000}\end{pmatrix}\cdot Q^{-1}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{5^{1000}}\cdot
\begin{pmatrix}-\frac 2{\sqrt 5}&-\frac{5^{1000}}{\sqrt 2}\\\\\frac 1{\sqrt 5}&-\frac{5^{1000}}{\sqrt 2}\end{pmatrix}\cdot Q^{-1}=\frac 1{5^{1000}}\cdot\begin{pmatrix} \frac 23+\frac{5^{1000}}3 &-\frac 23+\frac{2\cdot 5^{1000}}{3}\\\\-\frac 13+\frac{5^{1000}}{3} &\frac 13+\frac{2\cdot 5^{1000}}{3}\end{pmatrix}}\).
Stąd
\(\displaystyle{ \pi_{1000,0}=\pi_{0,0}\cdot\frac{2+5^{1000}}{3\cdot 5^{1000}}+\pi_{0,1}\cdot\frac{-1+5^{1000}}{3\cdot 5^{1000}}}\)
\(\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}0.2&0.8\\0.4&0.6\end{pmatrix}}\)
\(\displaystyle{ Q:=\begin{pmatrix}-\frac{2}{\sqrt 5}&-\frac{1}{\sqrt 2}\\\\\frac{1}{\sqrt 5}&-\frac{1}{\sqrt 2}\end{pmatrix}}\)
\(\displaystyle{ Q^{-1}=\begin{pmatrix}-\frac{\sqrt 5}{3}&\frac{\sqrt 5}{3}\\\\-\frac{\sqrt 2}{3}&-\frac{2\sqrt 2}{3}\end{pmatrix}}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ Q^{-1}AQ=\frac 15\begin{pmatrix}-1&0\\0&5\end{pmatrix}}\)
skąd
\(\displaystyle{ A^{1000}=Q(Q^{-1}AQ)^{1000}Q^{-1}=Q\cdot\frac{1}{5^{1000}}\begin{pmatrix}1&0\\0&5^{1000}\end{pmatrix}\cdot Q^{-1}=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{5^{1000}}\cdot
\begin{pmatrix}-\frac 2{\sqrt 5}&-\frac{5^{1000}}{\sqrt 2}\\\\\frac 1{\sqrt 5}&-\frac{5^{1000}}{\sqrt 2}\end{pmatrix}\cdot Q^{-1}=\frac 1{5^{1000}}\cdot\begin{pmatrix} \frac 23+\frac{5^{1000}}3 &-\frac 23+\frac{2\cdot 5^{1000}}{3}\\\\-\frac 13+\frac{5^{1000}}{3} &\frac 13+\frac{2\cdot 5^{1000}}{3}\end{pmatrix}}\).
Stąd
\(\displaystyle{ \pi_{1000,0}=\pi_{0,0}\cdot\frac{2+5^{1000}}{3\cdot 5^{1000}}+\pi_{0,1}\cdot\frac{-1+5^{1000}}{3\cdot 5^{1000}}}\)