centralne tw graniczne

[elektra18]

W pewnym procesie produkcyjnym średnio 2% stanowią wyroby wadliwe. Przeprowadzono wnikliwą kontrole jakości 100 sztuk wyrobu. Obliczyć prawdopodobieństwo wykrycia co najmniej 3 wyrobów wadliwych. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że żaden wyrób wadliwy nie zostanie znaleziony.
n=100
p=0,98
q=0,02
np=98
npq=1,96
\(\displaystyle{ \sqrt{npq}=1,4}\)
\(\displaystyle{ P\left( S _{n} \le 3\right)=1-P\left(S _{n} >3 \right)=P\left( \frac{ S_{n}-98 }{1,4}< \frac{3-98}{1,4} \right)}\)????

[Mistrz]

Nienienie
\(\displaystyle{ S_n}\) to liczba dobrych wyrobów.
Czyli chcesz obliczyć \(\displaystyle{ P(S_{100} \le 97) = P\left(\frac{S_{100}-98}{1.4}\le \frac{97-98}{1.4}\right)}\)
Albo inaczej: \(\displaystyle{ P(S_{100}=100)=0.98^{100} \approx 0.1326}\), \(\displaystyle{ P(S_{100}=99)=0.98^{99} \cdot 0.02 \cdot 100 \approx 0.2707}\), \(\displaystyle{ P(S_{100}=98) = 0.98^{98} \cdot 0.02^2 \cdot 4950 \approx 0.2734}\), czyli \(\displaystyle{ P(S_{100}\le 97) \approx 1 -0.1326 - 0.2707 -0.2734 = 0.3233}\) Ciekawe jaki wyjdzie wynik z CTG

[elektra18]

\(\displaystyle{ P(S_n \le 97) = P\left(\frac{S_n-98}{1.4}\le \frac{97-98}{1.4}\right)=P( \frac{ S_{n}-98 }{1,4} \le -0,71 )}\) ato -0,71 nie powinno byc dodatnie bo za bardzo nie wiem jak dla minusa policzyc dalej

[Mistrz]

Nie masz wartości dystrybuanty rozkładu standardowego dla ujemnych argumentów?
Wyszło ujemne i to dobrze wyszło.
Jak nie lubisz mieć ujemnie po prawej stronie to możesz zastosować własność \(\displaystyle{ \Phi(-t) = 1 - \Phi(t)}\)
Czyli, wyjaśniam, chodzi o to, że możesz napisać \(\displaystyle{ P(\dots \le -0.71) \approx 1 - P(\dots \le 0.71)}\)

[elektra18]

czyli \(\displaystyle{ \Phi(-t) = 1 - \Phi(0.71)=1-0,761148=0,228852}\) dzięki wielkie -- 28 paź 2013, o 20:44 --a jak mam
\(\displaystyle{ P( S_{100} =100)=0 ?}\)

[Mistrz]

Naprawdę wychodzi \(\displaystyle{ 0.2289}\)? Słuchaj, a jakbyś dała \(\displaystyle{ 97.5}\) zamiast \(\displaystyle{ 97}\)? Wydaje mi się, że niedokładność wyniku jest bardzo duża.

\(\displaystyle{ P(S_{100}=100)}\) to Ci obliczyłem wyżej, to jest oczywiście \(\displaystyle{ 0.98^{100}}\)

[elektra18]

taki wynik wyszedł mi jak zastosowałam odpowiednią formułę z excela, zresztą jak sprawdzałam w tablicach to wynik jest bardzo zbliżony do tego z excela. A co do zmiany wartości z 97 na 97,5 to niestety nie wchodzi ona w grę... mam prowadzącego który na pewno nie zrozumiałby na czym ten zabieg miałyby polegać i na pewno nie chciałby tego zrozumieć:/

[Mistrz]

Aha, to przykro mieć takiego prowadzącego. Obserwacja, na której ja bym się oparł jest bardzo prosta: ponieważ \(\displaystyle{ S_n}\) przyjmuje wyłącznie wartości całkowite, to \(\displaystyle{ P(S_{100} \le 97) = P(S_{100} \le 97.1) = \dots = P(S_{100} \le 97.9)}\), czyli nie ważne, jaką liczbę z przedziału \(\displaystyle{ [97;98)}\) wpiszemy po prawej wynik będzie taki sam. Niestety użycie CTG w tym przypadku daje dowolny wynik pomiędzy \(\displaystyle{ 0.2289}\), a \(\displaystyle{ 0.5}\)! Więc dla mnie to jest cholernie niedokładne