Warunkowa wartość oczekiwana

[haris2222]

Proszę o pomoc z tym zadaniem.
Niech \(\displaystyle{ Omega= [0, 1] ^{2}}\)i niech P bedzie (dwuwymiarowa) miara Lebesgue’a.
Niech \(\displaystyle{ X(x, y) = x}\) i niech \(\displaystyle{ Y (x, y) = y}\). Policzyc \(\displaystyle{ E(f(X, Y )|G)}\) gdy \(\displaystyle{ f(x, y) = x, G = sigma(Y )}\)

[bartek118]

Czyli innymi słowy masz policzyć \(\displaystyle{ \mathbb{E} (X | Y)}\). Zmienne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) są niezależne, ponieważ miara Lebesgue'a \(\displaystyle{ \ell_2}\) to iloczyn miar Lebesgue'a \(\displaystyle{ \ell_1}\). Stąd \(\displaystyle{ \mathbb{E} (X | Y) = \mathbb{E} X = \int_\Omega X \mathrm{d} \ell_2 = \int_0^1 \int_0^1 x \mathrm{dx} \mathrm{dy} = \ldots}\)