Dystrybuanta rozkładu równomiernego na odcinku ab

[iks2011]

Mam problem z następującym zadaniem:
Wyznacz dystrybuantę rozkładu równomiernego na odcinku \(\displaystyle{ [a,b]}\).

Znamy zależność:
\(\displaystyle{ F_{x}(t) = \int_{- \infty }^{t}f(x) \mbox{d}x}\),
gdzie \(\displaystyle{ f(x) \mbox{d}x}\) - funkcja gęstości

W tym przypadku funkcją gęstości rozkładu równomiernego na odcinku \(\displaystyle{ [a,b]}\) jest:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}&\text{dla } x \in \left\langle a,b \right\rangle \\ 0 &\text{dla } x \notin\left\langle a,b \right\rangle \end{cases}}\)

Wiem, że postać końcowa dystrybuanty powinna być następująca:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0, &\text{dla } x < a \\ \frac{x-a}{b-a} &\text{dla } a \le x < b \\ 1 &\text{dla } x \ge b \end{cases}}\)

No i ok - rozumiem pierwsze równania, bo całka z 0 równa się 0. Ale skąd wzięło się \(\displaystyle{ \frac{x-a}{b-a}}\)? Jest to przypadek dla \(\displaystyle{ x \in \left\langle a,b \right\rangle}\), więc aby to otrzymać liczę całkę (wg wzoru podanego na początku):

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{t}( \frac{1}{b-a}) \mbox{d}x}\)
co daje wynik: \(\displaystyle{ \frac{ \infty }{b-a}}\)

Skąd więc tam \(\displaystyle{ \frac{x-a}{b-a}}\) ? I tak samo, skąd w ostatnim wierszu 1, a nie 0 ?
Wiem, że pewnie coś knocę z przedziałami, ale nie mam pojęcia co .
Z góry dzięki za pomoc.

[janusz47]

Z definicji dystrybuanty rozkładu ciągłego.
Jeśli \(\displaystyle{ x< a,}\) to
\(\displaystyle{ F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{a}0dx=0,}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x\in<a,b>}\), to
\(\displaystyle{ F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{a}0dx +\int_{a}^{x}\frac{1}{b-a}dt=0+\frac{x-a}{b-a}.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ x>b,}\) to
\(\displaystyle{ F_{X}(x)=\int_{-\infty}^{a}0dx +\int_{a}^{b}\frac{1}{b-a}dt +\int_{b}^{x}0dx=1.}\)

[iks2011]

Super, bardzo dziękuję .