prawdopodobienstwo zajscia zdarzen

[Gogeta]

Wiadomo, że przynajmniej jedno ze zdarzeń \(\displaystyle{ A_r}\) \(\displaystyle{ r \in \left\{ 1,...,n\right\}}\)
na pewno zajdzie, ale też na pewno nie zajdą więcej niż dwa równocześnie. Niech \(\displaystyle{ P\left( A_r\right) = p}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ 1 \le r \le n}\) oraz \(\displaystyle{ P\left( A_r \cap A_s\right) = q}\) dla kazdego \(\displaystyle{ r \neq s}\) takich, ze \(\displaystyle{ 1 \le r,s \le n}\) wykaz, ze:
\(\displaystyle{ p \ge \frac{1}{n}}\) i \(\displaystyle{ q \le \frac{4}{n}}\)

Nie mam pomyslu z czego skorzystac przy dowodzie \(\displaystyle{ q \le \frac{4}{n}}\) prosilbym o wskazowke

[Mistrz]

Mi wyszło \(\displaystyle{ q\le \frac{2}{n(n-1)}}\) i chyba z niczego nie korzystałem, poza tym, że suma prawdopodobieństw to prawdopodobieństwo sumy dla zdarzeń rozłącznych

[Everard]

Ze wzoru włączeń i wyłączeń oraz założeń zadania,

\(\displaystyle{ 1=np-\frac{n(n-1)}4q\le n-\frac{n(n-1)}4q.}\)
Stąd
\(\displaystyle{ q\le \frac 4n.}\)

Współczynnik \(\displaystyle{ \frac{n(n-1)}4}\) bierze się stąd, że na tyle sposobów możemy wybrać \(\displaystyle{ (i,j): i<j, i,j\in \{1,...,n\}}\).

[Gogeta]

Dzieki za pomoc, ale nie rozumiem skad wzielo sie to:
\(\displaystyle{ 1=np-\frac{n(n-1)}4q}\)

Moglbys to wyjasnic?