Zbadać, czy funkcja jest funkcją charakterystyczną

[Paulina1812]

Zbadać, dla jakich a rzeczywistych dana funkcja jest funkcją charakterystyczną
\(\displaystyle{ f= \begin{cases} 1+a*\left| x\right| dla -1 \le x \le 1 \\1+a \ \ w \ pozostałych \ przypadkach\end{cases}}\).
Z własności funkcji charakterystycznych wyszło mi, że a może tylko być w następującym przedziale: \(\displaystyle{ -2 \le a \le 0}\), bo moduł funkcji charakterystycznej jest mniejszy równy od 1. A jak zbadać, dla wartości z tego przedziału ?? (Oczywiście ta funkcja jest jednostajnie ciągła i f(0)=1).

[Kartezjusz]

Zakładamy, że chodzi funkcję charakterystyczną \(\displaystyle{ [-1;1]}\) ?

[Mistrz]

Obstawiam, że większość z tych \(\displaystyle{ a}\) nie daje funkcji charakterystycznej. Myślę, że możesz poszukać sprzeczności z dodatnią określonością.

Znasz funkcję charakterystyczną zmiennej stale równej zero? Jak nie, to oblicz

[robertm19]

Tw. Bochnera
Funkcja \(\displaystyle{ \phi}\) jest funkcją charakterystyczną pewnego rozkładu wtw, gdy jest ciągła, dodatnio określona i \(\displaystyle{ \phi(0)=1}\).

[Paulina1812]

Funkcja charakterystyczna zmiennej równej stale zero to f(x)=1. Podejrzewałam, że trzeba szukać sprzeczności z dodatnią określonością, ale tego nigdy nie robiłam, więc nawet nie wiem, jak się za to zabrać . Mógłby ktoś mi w tym pomóc ??

[Adifek]

Twierdzenie Bochnera jest jednym z najbardziej bezużytecznych twierdzeń Przydaje się jedynie czasem do pokazywania, że coś nie jest funkcją charakterystyczną (a i to baardzo rzadko).

Słusznie zauważono, że \(\displaystyle{ a\in [-2,0]}\).

Dla \(\displaystyle{ a=-1}\) funkcja jest funkcją charakterystyczną (chociażby z kryterium Polya, albo licząc transformatę odwrotną). Podobnie dla \(\displaystyle{ a=0}\) (oczywiste). Nietrudno więc zgadnąć, że pomiędzy tymi wartościami też dostaniemy funkcje charakterystyczne.
Łatwo też zauważyć, że dla \(\displaystyle{ a\neq -1}\) nie może być funkcją charakterystyczną rozkładu absolutnie ciągłego. Zatem ewentualne rozkłady muszą być brzydsze.

Teraz można sprytnie: Dla \(\displaystyle{ a\in(-1,0)}\) mamy, że

\(\displaystyle{ f(x) = (1+a) - a(1-|x|)1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[-1,1]}(x) = \\ \\ =(1+a) \varphi_{\delta_0}(x) + (1-(1+a))(1-|x|)1{\hskip -2.5 pt}\hbox{l}_{[-1,1]}(x)}\)

Czyli \(\displaystyle{ f}\) jest kombinacją wypukłą funkcji charakterystycznych (i to dwóch wyżej wymienionych! prawda, że piekne?), więc jest funkcją charakterystyczną.

Dla \(\displaystyle{ ain[-2,-1)}\) CHYBA nie dostaniemy funkcji charakterystycznej. Niech teraz zwolennicy twierdzenia Bochnera dobierają sprytnie argumenty, żeby poległa dodatnia okresloność Przypomnimy definicję:

Funkcja \(\displaystyle{ \varphi : \mathbb{R}\to\mathbb{C}}\) jest dodatnio określona, gdy dla każdego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) i każdego wyboru \(\displaystyle{ t_1, t_2, \dots , t_n \in \mathbb{R}}\) oraz \(\displaystyle{ z_1, z_2, \dots ,z_n \in \mathbb{C}}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{n}\varphi(t_k -t_l)z_k \overline{z_l}\ge 0.}\)

Dodam jeszcze, że dla \(\displaystyle{ a=-2}\) na pewno nie mamy funkcji charakterystycznej, bo gdyby była funkcją charakterystyczną, to byłaby okresowa, a nie jest

[Mistrz]

Aha, była taka własność, że funkcja nieujemna, parzysta, nierosnąca na \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+}\) i wypukła na \(\displaystyle{ \mathbb{R}_+}\)...? Dobrze kojarzę?

[Paulina1812]

Wow!! Rozwiązanie Adifek'a jest super jeszcze takiego sposobu nie widziałam i bardzo, bardzo mi się podoba
Ale nadal pozostaje wykazanie, że prawdopodobnie nie jest to funkcja charakterystyczna...
Co chyba nie tylko mi przysparza wielu kłopotów...
A są jeszcze jakieś kryteria, aby obalić dodatnią określoność, bez twierdzenia Bochnera ? Może ktoś zna ?

[Adifek]

Mistrz, coś Ci świta - konkretnie kryterium Polya, którego użyłem dla \(\displaystyle{ a=-1}\). Niestety trzeba tam jeszcze, by granica w nieskończoności była zerem. Tutaj można było się bez niego obyć, bo dla \(\displaystyle{ a=-1}\) funkcja jest w \(\displaystyle{ L^{1}(\mathbb{R})}\), więc można liczyć transformatę odwrotną i ta transformata wychodzi bez szczególnych problemów.

Łatwo też zauważyć, że dla \(\displaystyle{ a\neq -1}\) nie może być funkcją charakterystyczną rozkładu absolutnie ciągłego. Zatem ewentualne rozkłady muszą być brzydsze.

Z tego też się może wytłumaczę, Lemat Riemanna-Lebesgue'a mówi, że funkcja charakterystyczna rozkładu absolutnie ciągłego ma granice w nieskończonościach i te granice wynoszą zero.

[Sir George]

Dla ain[-2,-1) CHYBA nie dostaniemy funkcji charakterystycznej. Niech teraz zwolennicy twierdzenia Bochnera dobierają sprytnie argumenty, żeby poległa dodatnia okresloność

Ba, wystarczy z wprost z definicji... Dla a<-1 mamy -(a+1)>0, wystarczy więc wziąć n takie, że \(\displaystyle{ n>-\frac1{a+1}}\), oraz \(\displaystyle{ t_1=1,\dots,t_n=n, \ \ z_1=\dots=z_n=1}\) i dostajemy:

\(\displaystyle{ \sum\limits_{i,j=1}^n\,f(t_i-t_j)z_i\overline{z_j}\,=\,\sum\limits_{i,j=1}^n\,f(i-j)\,=\,\sum\limits_{i}^n1\,+\,\sum\limits_{i\neq j}(1+a)\,=\,n+(1+a)n(n-1)<0}\)

Pozdrawiam,

BTW, dodatnią określoność przećwiczyłem u prof.Marka Bożejki. Czyli Wrocław kłania się uniżenie...

[Adifek]

BTW, dodatnią określoność przećwiczyłem u prof.Marka Bożejki. Czyli Wrocław kłania się uniżenie...

To jakaś aluzja?

[Paulina1812]

Dzięki wszystkim za rozwiązania Bez was bym tego zadania w ogóle nie ruszyła (mieliśmy tylko mały kawałek zajęć poświęcony funkcjom charakterystycznym i najzwyczajniej w świecie nie miałam zielonego pojęcia, jak się za to zabrać). Jeszcze raz Wielkie Dzięki