XYZ w kolejce złożonej z n osób

[tolaa]

Mamy n osób \(\displaystyle{ n \ge 3}\), wśród których są osoby X,Y oraz Z, które ustawia się losowo w kolejce. Wyznacz prawdopodobieństwo, że X stoi przed Y (niekoniecznie bezpośrednio), jeśli wiadomo, że Z stoi tuż za Y.
Proszę, rozpiszcie mi to

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ |\omega| = n!}\)
Pozostałe \(\displaystyle{ n-2}\) osoby mogą ustawić się dowolnie, a para \(\displaystyle{ ZY}\) może być na początku kolejki lub za dowolną inną osoba czyli na \(\displaystyle{ n-2}\)sposobów czyli
\(\displaystyle{ |A|=(n-1)!}\) sposobów.
Teraz rozważmy, że przed \(\displaystyle{ Y}\) stoi \(\displaystyle{ i}\) osób. \(\displaystyle{ i>1}\), ponieważ w zdarzeniu sprzyjającym conajmniej \(\displaystyle{ X}\) musi być przed \(\displaystyle{ Y}\)
Wówczas \(\displaystyle{ X}\) może być na \(\displaystyle{ j}\) tym miejscu
czyli nasze zdarzenie
\(\displaystyle{ A \cap B}\) to jest zdarzenie, o które jesteśmy pytani. Czyli ogolnie zdarzeń sprzyjających mamy
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}}\) czyli nasze prawdopodobieństwo to
\(\displaystyle{ \frac{( \frac{n(n+1)}{2})}{(n-1)!}}\)