Duży Lotek- wartości oczekiwane gry

DuzyLotek · Post autor: **DuzyLotek** » 23 paź 2013, o 22:06

Witam, od kilkudziesięciu minut staram się rozwiązać poniższe zadania, wydaje mi się, że wszystko jest poprawnie, ale odpowiedzi są inne.

a)Przyjmijmy, że cena jednego zakładu jest równa 1 zł. Trafiając trójkę wygrywamy 10zl, czwórkę 100zł, piątkę 1000zł. Jaka powinna być wysokość wygranej w przypadku trafienia szóstki, aby gra była sprawiedliwa?
b)Przyjmijmy, że trafiając trójkę wygrywamy 100zł, czwórkę 1000zł, piątkę 10000zł, a szóstkę 10000000zł. Jaka powinna być cena jednego zakładu, aby gra była sprawiedliwa?

trójka~ 0,017650404
czwórka~0,00096862
piątka~ 0,00001845
szóstka~ 0,000000072

Proszę o pomoc

Everard · Post autor: **Everard** » 24 paź 2013, o 12:27

Przez "gra sprawiedliwa" rozumiem taką, że oczekiwana wartość wygranej jest równa cenie zakładu.

Jeżeli oznaczymy prawdopodobieństwo trójki, czwórki, piątki,... przez \(\displaystyle{ P(3),P(4),...}\), a wygrane przez \(\displaystyle{ W(3),W(4),...}\), to oczekiwana wartość gry wynosi
\(\displaystyle{ \mathbb{E}=P(3)W(3)+P(4)W(4)+P(5)W(5)+P(6)W(6)}\).

W pierwszym podpunkcie mamy zatem

\(\displaystyle{ 1=P(3) \cdot 10+P(4) \cdot 100+P(5) \cdot 1000+P(6) \cdot x,}\)
a np. \(\displaystyle{ P(3)=\frac{{6\choose 3}{43\choose 3}}{{49\choose 6}}}\). Reszta to rachunki. Jeżeli wychodzi Ci inaczej niż w odpowiedziach czy co tam, podaj jak obliczyłeś swoje prawdopodobieństwa trójki, czwórki, etc.

DuzyLotek · Post autor: **DuzyLotek** » 24 paź 2013, o 16:20

"Grę nazywamy sprawiedliwą, jeśli jej wartość oczekiwana jest równa zero"
Teraz już mi wychodzi prawidłowy wynik w b) czyli 9 577 034 zł. Ciężko mi tutaj wytłumaczyć na czym polegał mój błąd wczoraj, niemniej dzięki Everard za chęć pomocy.

Everard · Post autor: **Everard** » 24 paź 2013, o 17:37

Nasze definicje są równoważne, kwestia tego czy rozumiesz "wygraną" jako tyle ile dostaniesz czy tyle ile dostaniesz minus cena zakładu

Niemniej dobrze że problem rozwiązany.