Zmienne losowe zadane liczbami.

[jackie]

Mam zadanie w którym mam 2 zmienne losowe \(\displaystyle{ X _{1}}\) i \(\displaystyle{ X _{2}}\). Nic o nich nie wiem poza tym ze

\(\displaystyle{ P(X _{1} = 0) = \frac{14}{16},
P(X _{1} = 1) = \frac{2}{16},
P(X _{2} = 1) = \frac{13}{16},
P(X _{2} = 2) = \frac{3}{16},
P(X _{1} = 0, X _{2}=1 ) = \frac{3}{4},
P(X _{1} = 0, X _{2}=2 ) = \frac{1}{8},
P(X _{1} = 1, X _{2}=1 ) = \frac{1}{16},
P(X _{1} = 1, X _{2}=2 ) = \frac{1}{16}}\)

Mam powiedzieć kilka rzeczy o tych zmiennych:
1) Czy są niezależne?
Jeśli \(\displaystyle{ P(X _{1} = 0, X _{2}=1 ) = P(X _{1} = 0) \cdot P(X _{2} = 1)}\)
Jeśli to jest spełnione to SA NIEZALEŻNE.
Czy to jest dobrze? No i czy trzeba tak dla wszystkich parametrów, nie wystarczy dla jednego?

2) Wartość oczekiwana
Tu znam wzór na całkę (i szereg jeśli dobrze pamiętam, ale to zależało czy zmienna jest dyskretna czy ciągła, ale nie umiem tego stwierdzić) ale jeśli mam same dane to domyślam się ze muszę to zrobić inaczej.. Wartość oczekiwana = wartość średnia, czy mam jakoś to z danych wyliczyć?
Proszę tu o naprowadzenie mnie;P

3) Wariancja
Znalazłam wzór wykorzystujący wartość oczekiwana, ale nigdy wcześniej go nie wykorzystywałam:P
Wiec poczekam aż ktoś miły mnie naprowadzi z ta wartością oczekiwana;P

4) Znaleźć rozkład \(\displaystyle{ X _{1} + X _{2}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ P(X _{1} +X _{2}=2)}\) to mamy\(\displaystyle{ P(X _{1}=0)}\) i \(\displaystyle{ P(X _{2}=2)}\) albo \(\displaystyle{ P(X _{1}=1)}\) i \(\displaystyle{ P(X _{2}=1)}\)
ale co z tym zrobić?
Dodawanie odpada bo wychodzi więcej niż 1 a to było pierwsze o czym pomyślałam..

Wszelkie wskazówki i uwagi mile widziane

[Everard]

Ad \(\displaystyle{ 1)}\): Musisz to sprawdzić dla wszystkich możliwych par parametrów. \(\displaystyle{ X_1}\) przyjmuje dwie wartości, \(\displaystyle{ X_2}\) też, więc cztery przypadki.

Ad \(\displaystyle{ 2}\): Masz powiedziane że np. \(\displaystyle{ X_1}\) przyjmuje jedną z dwóch wartości z prawdopodobieństwami sumującym się do \(\displaystyle{ 1}\)-no na moje to to jasno mówi że w takim razie \(\displaystyle{ X_1}\) jest zmienną o rozkładzie dyskretnym. Więc możesz tu myśleć o wartości średniej.

Ad \(\displaystyle{ 3}\): Łatwo wygooglać wzór.

Ad \(\displaystyle{ 4}\): \(\displaystyle{ X_1}\) ma wartości \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\), \(\displaystyle{ X_2}\) \(\displaystyle{ 1,2}\). Zatem suma ma wartości \(\displaystyle{ 1,2,3}\). Kiedy przyjmuje poszczególne? Przypadki, przypadki...