Policzenie rozkładu zmiennej losowej

[jackie]

Niech \(\displaystyle{ U _{i} i = 1, 2 ...}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na odcinku \(\displaystyle{ (0,1)}\) a zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład

\(\displaystyle{ P(X=k) = \frac{c}{k!}, k=1,2 ...}\)
gdzie\(\displaystyle{ c= \frac{1}{e-1}.}\)
Policz rozkład zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z = min(U _{1}, U _{2},...,U _{x} )}\)

No wiec mam takie zadanie.
Wiem ze \(\displaystyle{ U _{i} i = 1, 2 ...}\) ma rozkład jednostajny, ale co oznacza \(\displaystyle{ U _{x}}\)?
osobno podane c ma coś znaczyć albo sugerować czy jest od tak?
Podpowie ktoś jak się za to zadanie zabrać?
Wszystkie wskazówki mile widziane

[robertm19]

\(\displaystyle{ Z = min(U _{1}, U _{2},...,U _{x} )}\) takie coś oznacza, że jest \(\displaystyle{ X}\) elementów.
Więc dla \(\displaystyle{ X=k}\) mamy \(\displaystyle{ Z = min(U _{1}, U _{2},...,U _{k} )}\). Umiesz wyznaczyć rozkład takiej zmiennej?

[jackie]

Wcześniej X było podane jako zmienna losowa, w takim razie po co ona tu jest?
Własnie chce się tego nauczyć ale nie mam pojęcia jak zacząć..

[robertm19]

Rozkład \(\displaystyle{ Z}\) wyznacza się w ten sposób:
\(\displaystyle{ P(Z \le t)=\sum_{k=1}^{\infty}P(Z\le t|X=k)P(X=k)}\). I to jest wszystko co jest potrzebne w tym zadaniu.

[jackie]

A skąd się wziął ten wzorek, ma jakąś nazwę albo jest do tego definicja (Chętnie bym się zapoznała)?

Czyli rozkład Z to \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ \infty } P((Z \le t) \cap (X=k))}\)

Jeszcze dwa głupie pytania: czym jest t? No i jakie w tym zadaniu ma znaczenie jaki to rozkład? (w sensie jakby był inny to zadanie robi się w całkiem inny sposób?)

[robertm19]

Wzór to ogólnie znane prawdopodobieństwo całkowite.
Fragment \(\displaystyle{ P(Z\le t|X=k)=P(\min(U_1,...,U_k\le t)=1-(1-t)^k}\), gdy \(\displaystyle{ tin [0,1)}\).
Czyli \(\displaystyle{ P(Z\le t)=\sum_{k=1}^\infty (1-(1-t)^k)\frac{c}{k!}=c(e-1) -c\sum_{k=1}^\infty \frac{(1-t)^k}{k!}=c(e-1)-\left( (1-e^{-(1-t)})e^{1-t}\right)=c(e-1)-c(e^{1-t}-1)=\frac{e}{1-e}(1-e^{-t})}\).

[zidan3]

robertm19 ogólnie to wynika z własności warunkowej wartości oczekiwanej. W przypadku dyskretnym to się pokrywa. Jakby tu rozkład \(\displaystyle{ X}\) był ciągły, to ten argument już by nie przeszedł.