Sigma ciało generowane przez zmienną

[nowyyyy4]

Mam wyznaczyć przeciwobraz zbioru borelowskiego poprzez zmienną \(\displaystyle{ f( \omega)=\omega ^2}\), gdzie sigma-ciało zbiórów borelowskich \(\displaystyle{ B([-1,1])}\) sigma-ciało zbiórów borelowskich na odcinku \(\displaystyle{ [-1,1]}\) a \(\displaystyle{ \Omega = [-1,1]}\)
Policzyłem \(\displaystyle{ f^{-1}((a,b))=(- \sqrt{b},- \sqrt{a}) \cup ( \sqrt{a}, \sqrt{b})}\) (u mnie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są dodatnie, bo przeciwobraz przedziału złożonego z liczb mniejszych od zera jest zbiorem pustym, który zawsze należy do sigma ciała generowanego, podobanie jak cała przestrzeń \(\displaystyle{ \Omega}\)) a sigma ciało generowane to
\(\displaystyle{ \{ \emptyset , \Omega, (- \sqrt{b},- \sqrt{a}) \cup (\sqrt{a}, \sqrt{b}), [-1, - \sqrt{b}] \cup [- \sqrt{a}, \sqrt{a}] \cup [ \sqrt{b}, 1] \}}\) Dobrze?

[Alef]

Tak ale z małą poprawką:

\(\displaystyle{ \{ \emptyset , \Omega, (- \sqrt{b},- \sqrt{a}) \cup (\sqrt{a}, \sqrt{b}), [-1, - \sqrt{b}] \cup [- \sqrt{a}, \sqrt{a}] \cup [ \sqrt{b}, 1]\colon a,b\in[0,1] ,a<b\}}\)

bo to sigma ciało ma tak naprawdę "bardzo dużo" elementów

[nowyyyy4]

Tylko jak otrzymać za pomącą tego np. przeciobraz \(\displaystyle{ 0}\) albo \(\displaystyle{ 1}\)? Bo przeciwobraz \(\displaystyle{ 0}\) to \(\displaystyle{ 0}\) a 1 to \(\displaystyle{ \left\{ -1,1 \right\}}\)