Proces Wienera- własność

[nowyyyy4]

Mam udowodnić, że dla procesu Wienera \(\displaystyle{ W_t : \Omega \rightarrow \mathbb{R} ^n}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ E \left| \left| W_t - W_s \right| ^{4} \right| =n(n+2)|t-s|}\)
Zrobiłem tak

\(\displaystyle{ E \left| \left| W_t - W_s \right| ^{4} \right| = E \left| \left| \left(W_{t_1}, \ldots , W_{t_n} \right) - \left( W_{s_1}, \ldots , W_{s_n} \right) \right| ^{4} \right|= E \left| \left( \sqrt{(W_{t_1}-W_{s_1})^2 + \ldots +(W_{t_n}*W_{s_n})^2} \right)^4 \right|}\)\(\displaystyle{ =}\)\(\displaystyle{ E \left| \left( (W_{t_1}-W_{s_1})^2 + \ldots +(W_{t_n}-W_{s_n})^2 \right)^2 \right|}\) Dalej nie wiem proszę o pomoc.

[Alef]

Zacznij od \(\displaystyle{ n=1}\).

Wiesz, że \(\displaystyle{ W_{t}-W_{s}}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,t-s)}\).

Wystarczy policzyć 4 moment dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym, czyli \(\displaystyle{ \mathbb{E}\left| \left| W_t - W_s \right| ^{4} \right|=\mathbb{E}\left| W_t - W_s \right| ^{4}=\mathbb{E}\left( W_t - W_s\right)^{4}=...}\)

A później to samo dla zmiennej losowej o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ n}\) wymiarowym.

[nowyyyy4]

\(\displaystyle{ E(W_t - W_s)^4 = E(W_t - W_s)^2 (W_t - W_s)^2}\), ponieważ przyrosty są niezależne to
\(\displaystyle{ E(W_t - W_s)^2 (W_t - W_s)^2 = E(W_t - W_s)^2 E(W_t - W_s)^2= (t-s)(t-s)=(t-s)^2}\). Ale nie zgadza się ze wzorem. Co robię źle?
bo powinno być \(\displaystyle{ E \left| \left| W_t - W_s \right| ^{4} \right| =n(n+2)|t-s|^2}\) brakuje mi \(\displaystyle{ 3}\)z przodu.

[Kartezjusz]

Jakim cudem te same przyrosty dajesz jako niezależne?

[nowyyyy4]

Faktycznie... To mam podnieść to do czwartej potęgi, tylko jak policzyć np. \(\displaystyle{ E W_{t}^{4}}\)?

[Alef]

Po co chcesz podnosić do potęgi 4?

Przecież napisałem Ci:

\(\displaystyle{ X:=W_{t}-W_{s}}\)

Zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,t-s)}\).

Oblicz

\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left[X^{4}\right]}\)

P.S. Dla \(\displaystyle{ n=1}\) wynik ma być \(\displaystyle{ 3(t-s)^{2}}\).

Zauważ, że jeżeli \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład normalny to zachodzi:

\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left[X^{4}\right]=3\left[\mathbb{E}\left[X^{2}\right]\right]^{2}}\)

a stąd u nas

\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left[X^{4}\right]=3\left[\mathbb{E}\left[X^{2}\right]\right]^{2}=3(t-s)^{2}}\)

bo

\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left[X^{2}\right]=\mathbb{E}\left[(W_{t}-W_{s})^{2}\right]=t-s}\)

[nowyyyy4]

No to z tego wynika, że \(\displaystyle{ E X^2 = t-s}\)-- 23 paź 2013, o 12:13 --\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left[X^{4}\right]=3\left[\mathbb{E}\left[X^{2}\right]\right]^{2}}\) Skąd to wiadomo?

[Alef]

Nie wiadomo. Jeżeli chcesz z tego skorzystać trzeba to udowodnić.

Albo to udowodnij (ale to prawda więc spokojnie) albo policz

\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left[X^{4}\right]=\frac{1}{\sqrt{2\pi(t-s)}}\int_{-\infty}^{\infty}x^{4}e^{-\frac{x^{2}}{2(t-s)}}\ dx=...}\)-- 23 paź 2013, o 13:21 --Najprościej aby wyliczyć

\(\displaystyle{ \mathbb{E}\left[X^{4}\right]}\)

skorzystaj ze wzoru na postać funkcji generującej momenty dla rozkładu normalnego oraz ze wzoru na momenty rozkładu normalnego przy użyciu funkcji generującej momenty. Wynik masz prawie za darmo.

[nowyyyy4]

Tak ma być?
\(\displaystyle{ = E(W_{t_1}-W_{s_1})^{4}+ 2 E(W_{t_1}-W_{s_1})^{2}(W_{t_2}-W_{s_2})^{2}+ \ldots + 2E(W_{t_1}-W_{s_1})^{2} (W_{t_n}-W_{s_n})^{2}+ E(W_{t_2}-W_{s_2})^{4}+ 2E(W_{t_2}-W_{s_2})^{2} (W_{t_3}-W_{s_3})^{2}+ \ldots + 2 E(W_{t_2}-W_{s_2})^{2} (W_{t_n}-W_{s_n})^{2} + \ldots + E(W_{t_n}-W_{s_n})^{4}= 3(t-s)^2 + \ldots + 3(t-s)^2 + (n-1+ n-2 + \ldots + 1)2(t-s)^2= (t-s)^2 (n^2 -n +3n)= n(n+2) (t-s)^2}\)