Udowodnić, że A i B są niezależne

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Tifulo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 202
Rejestracja: 29 sty 2013, o 16:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: PL
Podziękował: 106 razy

Udowodnić, że A i B są niezależne

Post autor: Tifulo »

Dane są zdarzenia \(\displaystyle{ A,B}\) przy czym \(\displaystyle{ P(A) \in \left\{ 0,1\right\}}\) . Udowodnić, że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne.

Proszę o sprawdzenie i ewentualne zaproponowanie innego sposobu, dziękuję
Przypadek pierwszy:    
Przypadek drugi:    
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Udowodnić, że A i B są niezależne

Post autor: robertm19 »

Rozumowanie wygląda poprawnie.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Udowodnić, że A i B są niezależne

Post autor: »

Można też tak:
1) \(\displaystyle{ A \cap B\subseteq A \Rightarrow P(A\cap B) \le P(A) = 0}\)
więc \(\displaystyle{ P(A \cap B)=0}\) i to oczywiście tyle samo co \(\displaystyle{ P(A)\cdot P(B)}\)
oraz:
2) \(\displaystyle{ A \subseteq A \cup B \Rightarrow 1= P(A) \le P(A\cup B)}\)
więc \(\displaystyle{ P(A\cup B) =1}\), więc:
\(\displaystyle{ 1= P(A\cup B) = P(A)+P(B) - P(A\cap B) = 1 +P(B) - P(A\cap B)}\)
czyli
\(\displaystyle{ P(A\cap B) = P(B) = P(B)P(A)}\)

Q.
ODPOWIEDZ