Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Dane są zdarzenia \(\displaystyle{ A,B}\) przy czym \(\displaystyle{ P(A) \in \left\{ 0,1\right\}}\) . Udowodnić, że \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są niezależne.
Proszę o sprawdzenie i ewentualne zaproponowanie innego sposobu, dziękuję
Przypadek pierwszy:
\(\displaystyle{ P(A)=0}\), z tego wynika \(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(B)-P(A \cap B)}\), ale przecież: \(\displaystyle{ P(A \cup B) \ge P(B)}\), czyli żeby była równość musi być: \(\displaystyle{ P(A \cap B)=0}\). Stąd \(\displaystyle{ 0=P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)=0 \cdot P(B)=0}\), zatem zdarzenia są niezależne.
Przypadek drugi:
\(\displaystyle{ P(A)=1}\), z tego wynika \(\displaystyle{ P(A \cup B)=1+P(B)-P(A \cap B)}\), ale przecież: \(\displaystyle{ P(B) \ge P(A \cap B)}\), czyli żeby była równość musi być: \(\displaystyle{ P(B) = P(A \cap B)}\). Stąd \(\displaystyle{ P(B)=P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)=1 \cdot P(B)=P(B)}\), zatem zdarzenia są niezależne.
Można też tak:
1) \(\displaystyle{ A \cap B\subseteq A \Rightarrow P(A\cap B) \le P(A) = 0}\)
więc \(\displaystyle{ P(A \cap B)=0}\) i to oczywiście tyle samo co \(\displaystyle{ P(A)\cdot P(B)}\)
oraz:
2) \(\displaystyle{ A \subseteq A \cup B \Rightarrow 1= P(A) \le P(A\cup B)}\)
więc \(\displaystyle{ P(A\cup B) =1}\), więc: \(\displaystyle{ 1= P(A\cup B) = P(A)+P(B) - P(A\cap B) = 1 +P(B) - P(A\cap B)}\)
czyli \(\displaystyle{ P(A\cap B) = P(B) = P(B)P(A)}\)