Wzór Bayesa - praw. warunkowe wystąpienia chorób

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
iks2011
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 21 lis 2012, o 11:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 15 razy

Wzór Bayesa - praw. warunkowe wystąpienia chorób

Post autor: iks2011 »

Dane:
\(\displaystyle{ A_{1}}\) - choroba 1
\(\displaystyle{ A_{2}}\) - choroba 2
\(\displaystyle{ A_{3}}\) - choroba 3

\(\displaystyle{ B}\) - objawy
Mamy podane także prawdopodobieństwa wystąpienia każdej z chorób:
\(\displaystyle{ P(A_{1}) = 0,5}\)
\(\displaystyle{ P(A_{2}) = 0,3}\)
\(\displaystyle{ P(A_{3}) = 0,2}\)

A także prawdopodobieństwa warunkowe wystąpienia objawów przy założeniu, że wystąpiła dana choroba:
\(\displaystyle{ P(B|A_{1}) = 0,8}\)
\(\displaystyle{ P(B|A_{2}) = 0,3}\)
\(\displaystyle{ P(B|A_{3}) = 0,5}\)

Policzyć mamy prawdopodobieństwa wystąpienia poszczególnych chorób przy wystąpieniu objawów, żeby stwierdzić, która choroba jest najbardziej prawdopodobna, że ktoś jest na nią chory, jeśli wystąpią u niego objawy (B).
Ma to być policzone za pomocą wzoru Bayesa. Wzór ma postać:
\(\displaystyle{ P(A_{i}|B) = \frac{P(A_{i}) \cdot P(B|A_{i})}{ \sum_{i=1}^{n}P(A_{i}) \cdot P(B|A_{i}) }}\)

No ok, w takim razie chcę policzyć \(\displaystyle{ P(A_{1}|B)}\):
\(\displaystyle{ P(A_{1}|B) = \frac{P(B|A_{1}) \cdot P(A_{1}) }{P(B|A_{1}) \cdot P(A_{1})}}\)

No i przecież widać od razu, że to wyjdzie 1... Wiem, że pewnie pytam o coś idiotycznego, ale nie wiem jak to rozgryźć i co liczę źle. Może powinienem sumować w mianowniku więcej niż 1 składnik sumy (tylko jaki, skoro \(\displaystyle{ n = 1}\))?
Z góry dzięki za pomoc.
mat_61
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4618
Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Racibórz
Pomógł: 866 razy

Wzór Bayesa - praw. warunkowe wystąpienia chorób

Post autor: mat_61 »

Oczywiście w mianowniku występuje p-stwo całkowite wystąpienia objawów, czyli wzór jest taki:

\(\displaystyle{ P(A_{1}|B) = \frac{P(B|A_{1}) \cdot P(A_{1}) }{P(B|A_{1}) \cdot P(A_{1}) + P(B|A_{2}) \cdot P(A_{2}) + P(B|A_{3}) \cdot P(A_{3})}}\)

W tym wzorze:

\(\displaystyle{ P(A_{i}|B) = \frac{P(A_{i}) \cdot P(B|A_{i})}{ \sum_{i=1}^{n}P(A_{i}) \cdot P(B|A_{i}) }}\)

\(\displaystyle{ n}\) nie jest równe \(\displaystyle{ 1}\) tylko \(\displaystyle{ 3}\)
P-stwo liczysz dla konkretnego \(\displaystyle{ i}\) czyli zmienia się wartość licznika natomiast mianownik dla dowolnego \(\displaystyle{ i}\) będzie zawsze taki sam:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}P(A_{i}) \cdot P(B|A_{i})}\)
iks2011
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 21 lis 2012, o 11:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 15 razy

Wzór Bayesa - praw. warunkowe wystąpienia chorób

Post autor: iks2011 »

Wielkie dzięki, wiedziałem, że pytam o jakąś głupotę . O to mi dokładnie chodziło.
ODPOWIEDZ