Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo - Losowanie z grupy.

[Quauli]

Witam.

Chciałbym upewnić się, czy dobrze rozwiązałem dwa zadania z tematu zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo. Oto one:

1. Z grupy dwudziestu żołnierzy Legii Cudzoziemskiej, w której było pięciu Francuzów, sześciu Belgów, dwóch Koreańczyków, jeden Anglik, czterech Polaków i dwóch Amerykanów, wylosowano czteroosobową reprentację honorową. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych osób będzie co najmniej jeden Belg?

Otóż wyliczyłem najpierw \(\displaystyle{ \Omega = \frac{20!}{4!*16!}}\) ponieważ reprezentacja ma być czteroosobowa.

Tutaj napotkałem problem jak obliczyć A i spróbowałem podobnie, czyli z 6 Belgów wybrano conajmniej jednego i z prostych obliczeń: \(\displaystyle{ A = \frac{6!}{5!}}\). Daje to wynik 6.

Zatem P(A) wynosić będzie \(\displaystyle{ \frac{2}{1615}}\), ale średnio mi się to podoba. Czy dobrze to zrobiłem czy nie?

2. Prezesi siedmiu klubów piłkarskich, wśród których jest prezes Manchesteru United i Manchesteru City, zasiadają do obrad przy okrągłym stole. Uczestnicy negocjacji losują numerowane krzesła. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że prezesi obu klubów z Manchesteru usiądą obok siebie?

Zaczałem od wypisania sobie \(\displaystyle{ \Omega = \left\{ 1,2,3,4,5,6,7\right\}}\) krzeseł a następnie miejsc jakie mogą zająć obok siebie czyli \(\displaystyle{ A = (1,2)(2,3)(3,4)(4,5)(5,6)(6,7)(7,1)}\). To ostatnie dlatego, że przecież mogą zająć też i te z "drugiej strony" miejsca. Bez powtórzeń, bo nie ma wg mnie znaczenia czy (5,6) czy (6,5). Zatem prawdopodobieństwo P(A) wynosi \(\displaystyle{ \frac{6}{7}}\)? Trochę za proste to jak dla mnie...

3. Tutaj z tym zadaniem zupełnie nie mam pojęcia jak sobie poradzić... Oto ono: ze zbioru liczb \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\right\}}\) losujemy bez zwracania dwie i od pierwszej odejmujemy drugą. Oblicz prawdopodobieństwo, że otrzymana różnica będzie większa od dwóch.

Bardzo proszę, jeżeli ktoś może ostatnie jakoś rozwiązać, albo skutecznie naprowadzić, nie jestem lotny z matematyki a na pewno nie z prawdopodobieństwa, więc będę zobowiązany.

Pozdrawiam i czekam na pomysły.-- 16 paź 2013, o 13:37 --A propos drugiego to właśnie mi coś przyszło do głowy, przepraszam za double-posting.

Można chyba zrobić tak, żeby ich posadzić przy stole na siedem sposobów, ale mogą siedzieć obok siebie na dwa sposoby, czyli razem czternaście. Wynika z tego, że:

\(\displaystyle{ \Omega = 7!}\)

\(\displaystyle{ A = 14*5!}\)

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{14*5!}{7!} = \frac{14}{6*7} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3}}\)

Teraz dobrze?

[Kartezjusz]

1.Ty podałeś,że wylosowano dokładnie jednego Belga.
Radzę rozważyć zdarzenie przeciwne,że jest kompania bez żadnego Belga. i odjąć od 1
2.Masz rację
3.Wybierz te pary gdzie różnica jest równa 2, i manipuluj odjemną. by wyłapywać pozostałe sprzyjające zdarzenia. Ile masz też wszystkich?

[Powermac5500]

Tutaj napotkałem problem jak obliczyć A i spróbowałem podobnie, czyli z 6 Belgów wybrano conajmniej jednego i z prostych obliczeń: A = frac{6!}{5!}. Daje to wynik 6.

Zatem P(A) wynosić będzie frac{2}{1615}, ale średnio mi się to podoba. Czy dobrze to zrobiłem czy nie?

Źle.
Wybrałeś 1 z Belgów i 3 spośród pozostałych.
\(\displaystyle{ A={6 \choose 1} {14 \choose 3}}\)

[Quauli]

Dzięki za odpowiedź, ale dlaczego \(\displaystyle{ 6!}\)? Zobacz, dodałem w pierwszym poście inny pomysł na rozwiązanie, co o nim myślisz?

Ok, czyli rozwiązane, zostają 1 i 3.

Co do zadania z Legią, to można faktycznie policzyć zdarzeniem przeciwnym, ale generalnie korzystać z kombinatoryki czy jakoś inaczej to próbować rozwiązać? \(\displaystyle{ \Omega}\) jest dobrze policzona w pierwszym zadaniu?

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ 6!}\) W którym zadaniu. Ze stołem?
Stołem można"obracać," temu pierwsze miejsce jakkolwiek obsadzimy nie zrobi nam różnicy.

[Quauli]

Ok, zatem będzie \(\displaystyle{ 6!}\).

Precyzując pozostałe pytania. Czy w pierwszym z Legią jest dobrze policzona \(\displaystyle{ \Omega}\) oraz czy liczyć to z kombinatoryki a następnie z prawdopodobieństwa przeciwnego?

Co do trzeciego zadania nadal nie mam pomysłu, nie ogarniam o co chodzi z tą odjemną, mam drzewko sobie rozrysować?

Wiem, że głupie pytania, ale uczę się tego póki co...

[Kartezjusz]

Tak dobrze policzona \(\displaystyle{ \Omega}\) tak jak ustaliliśmy. Rozważ na początek zdarzenie dokładnie przeciwne.

[Quauli]

Ok, czyli można to policzyć w ten sposób:

\(\displaystyle{ A = {6\choose 1}{14\choose 3} = 6 * 364 = 2184}\)

Następnie:

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{2184}{4845} \approx 0,45}\)

EDIT 1: wiem, że nie jest to z prawdopodobieństwa przeciwnego, ale w sumie też może chyba być, nie?

EDIT 2: co do tego wcześniejszego zadania to będzie to faktycznie \(\displaystyle{ 6!}\) i wynik będzie \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\).

[Kartezjusz]

Znowu badasz ,że wylosowano dokładnie jednego belga. Rozważ, że ŻADEN /Belg nie został wybrany.

[Quauli]

No to skoro to co teraz napisałem to opcja z jednym Belgiem to jeżeli usuną pierwszy dwumian Newtona to wynik 364 będzie tym wynikiem z opcją bez żadnego Belga, right?-- 16 paź 2013, o 14:41 --Czekaj, ogarnąłem! chyba.

Liczymy dla opcji bez ŻADNEGO Belga to będzie:

\(\displaystyle{ A = {14\choose 4} = \frac{14*13*12*11*10!}{4!*10!} = 1001}\)

Zatem:

\(\displaystyle{ P(A) = \frac{1001}{4845}}\)

Stąd:

\(\displaystyle{ P(A') = \frac{3844}{4845}}\)

Teraz ok?

[Kartezjusz]

Teraz jest już OK.