Nieznana liczba kul w danym kolorze.

[lmperator]

Proszę was o pomoc, ponieważ spotkałem się dziś z zadaniem matematycznym, które brzmi w ten sposób:
W urnie mamy N kul( niebieskie i czerwone ), losujemy m ( bez zwracania ) w tym q czerwonych.
Jakie jest prawdopodobieństwo, wylosowania jako kolejnej kuli niebieskiej?
Niestety nie jestem w stanie rozwiązać tego zadania, a więcej mądrych głów dzisiaj na Politechnice próbowało się za to zabrać.
Najoczywistsze wydawało się 50%, ale niestety wiemy, że nie jest to dobra odpowiedź.
Próbowaliśmy rozwiązać to zadanie, jeśli komuś by to pomogło

[piasek101]

Wg mnie mało danych.

[lmperator]

Po drobnych problemach i po próbach uzyskałem prawidłową odpowiedź.
Okazuje się, że rozwiązaniem jest wzór:

\(\displaystyle{ \frac{liczba wylosowanych - liczba czerwonych + 1}{ liczba wylosowanych + 2 }}\)

Teraz skoro znamy już ten przedziwny wzór zastanówmy się, dlaczego właśnie tyle?

Edit:

Naprawdę nikt nie jest w stanie dopomóc mi w rozwiązaniu, dlaczego akurat ten wzór?
Jak to udowodnić?
Naprawdę staram się to rozwiązać, ale nie mam pomysłu, brak mi wiedzy i umiejętności, jest to bardzo interesujące zagadnienie, dlatego chciałbym poznać odpowiedź do tego zadania ( dowód ).
Prosze o pomoc

[piasek101]

No to policz ze swojego wzoru dla danych :
\(\displaystyle{ N=100;n=2;cz=98;m=10;q=8}\)

[lmperator]

Tak, gdy wybierzesz konkretną sytuację, to oczywiście wzór będzie wart funta kłaków.
Jednak my nie wiemy jakie kule znajdują się w urnie, co za tym idzie prawdopodobieństwo rzeczywiste, znając zawartość urny nie będzie równe prawdopodobieństwu ogólnemu.

Nie jest to zadanie wymyślone przeze mnie, jest ono autoryzowane, więc poprawne.
Najprawdopodobniej mamy tu do czynienia z jakimś większym stopniem zaawansowania, niż zwyczajna wiedza na poziomie liceum, przy której nie jesteśmy tego zadania rozstrzygnąć.

Dla twojego przykładu, prawdopodobieństwo będzie wynosiło jeśli się nie pomyliłem 0.023 dla konkretnego przykładu, oraz 25% w ogólności.
Pytanie jak tego dowieść.

[piasek101]

Wzór powinien być dobry dla wszystkich przypadków - pokazałem, że nie jest. A prawdopodobieństwo wyniosło zero.

Powtarzam - wg mnie brak danych.

[Sir George]

Pozwolę sobie wtrącić 3 grosze...
Moim skromnym zdaniem wzór podany przez Imperatora jest rozwiązaniem postawionego zagadnienia.
piasek101 - w Twoim przypadku liczysz prawdopodobieństwo warunkowe - pod warunkiem, ze liczba kul czerwonych jest równa 98. A to niestety nie jest to samo prawdopodobieństwo, o które pyta Imperator.
Statystycy milcząco zakładają, że jak nie wiemy dokładnie ile jest np. kul danego koloru, to wszystkie możliwe w danej sytuacji przypadki zachodzą z jednakowym prawdopodobieństwem...

Pozdrawiam...

[Kartezjusz]

Zacząłbym od prawdopodobieństwa całkowitego. czyli jakie byłoby prawdopodobieństwo, gdyby kul czerwonych było konkretnie na przykład \(\displaystyle{ q \le M< N}\) i zsumowałbym te prawdopodobieństwa, przy czym \(\displaystyle{ |\Omega|}\) warunkowe mamy pod warunkiem, że właśnie suma prawdopodobieństw,że mamy tyle kul.

[piasek101]

Właśnie prawdopodobieństwo jest zależne od stosunku kolorów kul na początku - wg mnie tego bvrak.

[Kartezjusz]

Przyjmijmy,że kul czerwonych mamy N i policz z tą pomocniczą zmienną.