Gęstość i dystrybuanta

[pwpwpw]

Niech\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} 0,\ &x < 0 \\ 2xe ^{-x ^2},\ &x \ge 0 \end{cases}}\)

a) pokazać, że funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest gęstością pewnej zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\)
b) wyznaczyć dystrybuantę zmiennej \(\displaystyle{ X}\)

przedstawiam Wam próbę rozwiązania zadania

żeby \(\displaystyle{ f}\) była gęstością muszą być spełnione dwa warunki

1. \(\displaystyle{ f(x) \ge 0}\)
2. \(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } f(x)\dd x=1}\)

\(\displaystyle{ \int_{- \infty }^{ \infty } f(x)dx=\int_{- \infty }^{0} 0\dd x + \int_{0}^{ \infty } 2xe ^{-x ^{2} }\dd x}\)

no i w tym miejscu się zatrzymuję, ponieważ wychodzi mi pewna sprzeczność

aby obliczyć całkę drugą należy skorzystać ze wzoru \(\displaystyle{ \int_{0}^{ \infty } f(x)\dd x= \lim_{A \to \infty } \int_{0}^{A} f(x)\dd x}\) przynajmniej tak mi się wydaję, proszę przejrzeć to zadanie i napisać czy poprawnie rozumuję

[Kartezjusz]

Oczywiście , z definicji całki niewłaściwej, ale z przodu nie powinno być minusa,bo pierwszy warunek leży...

[pwpwpw]

tzn, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } e ^{ x } = 0?}\)-- 7 paź 2013, o 11:02 --ten minus spowodował tyle kłopotów :]

[Kartezjusz]

Tak, właśnie.,tyle,żebyć nie zapomniał o drugiej granicy całkowania.

[pwpwpw]

po wyliczeniu wychodzi 1, tak więc jak najbardziej poprawnie rozwiązane