Rozkład sumy zmiennych losowych.

[ahk1986]

Witam, potrzebuję policzyć rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych, tzn:
\(\displaystyle{ P\left(X+Y<t\right)}\) gdzie \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład wykładniczy a \(\displaystyle{ X}\) jednostajny na odcinku \(\displaystyle{ \left(a,b\right)}\) Robię to tak:
\(\displaystyle{ P\left(X+Y<t\right)=\int_a^bdx\int_0^{t-x}\frac{\lambda}{b-a}e^{-\lambda y}dy=..=\frac{1}{b-a}\left[b-a-\frac{e^{-\lambda t}}{\lambda}\left(e^{\lambda b}-e^{\lambda a}\right)\right]}\) Wynik tego całkowania jest dobry, sprawdzałem programem. Niestety, dla \(\displaystyle{ \lambda=10}\), \(\displaystyle{ a=-0.2, b=.5, t=0.05}\) powyższa całka wynosi -11 co nijak ma się do prawdopodobieństwa :/ Ktoś wie gdzie jest błąd ?

[liu]

Musisz napisać tam gdzieś funkcje wskaźnikowe, bo \(\displaystyle{ t-x}\) nie zawsze jest liczbą nieujemną.

[ahk1986]

Jak kładłem się spać to przyszło mi to samo do głowy... zapomniałem o indykatorach :/ Niestety, nie wiem jak sobie z nimi poradzić... Gdyby ktoś pokazał jak to poradzić sobie z tymi indykatorami w poniższej całce....
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{\infty}dx\int_{-\infty}^{t-x}\frac{1}{b-a}\mathbf{1}_{\left(a,b\right)}\left(x\right)\lambda e^{-\lambda y}\mathbf{1}_{\left(0,\infty\right)}\left(y\right)dy}\)

[Kartezjusz]

Pomyśl kiedy \(\displaystyle{ t-x}\) wychodzi ujemne i czy jest to możliwe.

[ahk1986]

\(\displaystyle{ t-x}\) jest ujemne gdy \(\displaystyle{ x>t}\) - czy zatem należy "rozbić" całkę po \(\displaystyle{ dx}\) na przedziały \(\displaystyle{ \int_{-\infty}^t dx +\int_t^{\infty}dx}\) ?

[robertm19]

Najlepiej zrobić sobie rysunek. Zaznaczasz na osi y punkty a i b. Oraz bierzesz całą oś x bo rozkład wykładniczy określony jest na całej osi. Otrzymasz taki prostokąt nieskończony. Do tego rysujesz zbiór \(\displaystyle{ Y<t-x}\). Prawdopodobieństwo będzie całką podwójną po przecięciu tych dwóch zbiorów.
Zauważ teraz co się dzieje gdy \(\displaystyle{ t \ge b}\) oraz \(\displaystyle{ t<b}\).

Jest także inny sposób: "splot gęstości".

[ahk1986]

Robiąc jak zaleciłeś otrzymałem:
\(\displaystyle{ \int_a^tdx\int_0^{t-x}\frac{1}{b-a}\lambda e^{-\lambda y}dy}\) Czy funkcja podcałkowa i granice są dobre ?

[robertm19]

A chcesz to wyznaczyć, dla tych konkretnych podanych liczb, czy w ogólnym przypadku? Jak w ogólnym to będzie dużo przypadków.

[ahk1986]

Chodzi mi o gęstość w przypadku gdy \(\displaystyle{ t\in\left(a,b\right)}\). To co policzyłem w całce powyżej jest dla tego właśnie przypadku.

[robertm19]

\(\displaystyle{ \int_{0}^{t-a}dx\int_a^{t-x}\frac{1}{b-a}\lambda e^{-\lambda x}dydx}\)
To tak powinny wyglądać granicę. W pierwszej całce liczymy po x od 0 do punktu pzecięcia \(\displaystyle{ X+Y=t}\) i \(\displaystyle{ Y=a}\). W drugiej po y od \(\displaystyle{ a}\) do \(\displaystyle{ t-X}\).

[ahk1986]

Dla \(\displaystyle{ t\in\left(a,b\right)}\) obszar wygląda wg mnie tak:


można całkować tak:
\(\displaystyle{ \int_a^tdx\int_0^{t-x}f\left(x,y\right)dy}\)
lub
\(\displaystyle{ \int_0^{t-a}dy\int_a^{t-y}f\left(x,y\right)dx}\)
gdzie \(\displaystyle{ f\left(x,y\right)=\frac{1}{b-a}\lambda e^{-\lambda y}}\)

Dobrze to jest teraz ?