Sześciokrotny rzut kostką.

[SuperM4n]

Witam, otóż mam takie zadanie: Rzucamy sześć razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że dokładnie w trzech pierwszych rzutach wypadną liczby pierwsze, a tylko w ostatnim rzucie wypadnie 6 oczek.

Wynik: \(\displaystyle{ \frac{1}{192}}\)

Próbowałem coś z tym zrobić i oto, co mi wyszło:

Liczba możliwych kombinacji to oczywiście \(\displaystyle{ 6^{6}}\)
Liczby pierwsze: 2,3,5.
Rozrysowałem drzewko dla trzech pierwszych rzutów, gdzie uwzględniałem tylko przypadek wyrzucenia liczby pierwszej. Takich przypadków jest 27, a prawdopodobieństwo każdego wyniku wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{6}}\). Niestety, nie wiem, co zrobić dalej. Jeden z moich sposobów dał poprawny wynik, jednakże raczej nie jest zbyt dobry. Ma ktoś pomysł, jak to dalej rozwiązać? Być może zrobić zdarzenie odwrotne do B (na końcu wypadnie liczba 6 oczek)?

[mat_61]

Nie wydaje mi się, żeby podany przez Ciebie wynik był poprawny (jeżeli dokładnie napisałeś treść zadania).
Bez problemu można skorzystać z twierdzenia o mnożeniu (zasady iloczynów) i obliczyć, że mamy \(\displaystyle{ 108}\) różnych wariantów rzutów spełniających warunki zadania.

[Kacperdev]

Także nie wydaję mi się aby wynik który pokazałeś był poprawny

\(\displaystyle{ \left| A\right|=3^{3} \cdot 6^{2} \cdot 1}\)

\(\displaystyle{ \left| \Omega \right| = 6^{6}}\)

\(\displaystyle{ P\left(A \right)= \frac{1}{48}}\)

[SuperM4n]

@up
Wynik przepisałem z książki (Matematyka Poznać, zrozumieć. Zbiór zadań do liceum i technikum dla klas 1-3, wydawnictwo WSiP. Zad.72/188). Oczywiście jest możliwe, że w zbiorze zadań znajduje się błąd, to by wiele wyjaśniało. Jesteście pewni, że jest zły? (wybaczcie, ale to dla mnie dosyć ważne i muszę mieć 100% pewność)

[Kacperdev]

Poczekajmy na wypowiedz kogoś bardziej kompetentnego.

[mat_61]

Według mnie:

\(\displaystyle{ \left| A\right|=3^{3} \cdot 2^{2} \cdot 1}\)

Stwierdzenia:

- dokładnie w trzech pierwszych rzutach wypadną liczby pierwsze
- tylko w ostatnim rzucie wypadnie 6 oczek

oznaczają, przynajmniej dla mnie, że te liczby są wykluczone w rzucie czwartym i piątym.-- 30 wrz 2013, o 19:14 --SuperM4n sprawdź, czy dosłownie przepisałeś treść zadania.

[SuperM4n]

Przepisałem dokładnie, sprawdziłem dwa razy. Błąd jest bardzo możliwy i sam skłaniam się ku rozwiązaniu zaproponowanym przez Kacperdev. Może jeszcze ktoś ma jakiś pomysł?

[mat_61]

Nie wydaje mi się, żeby rozwiązanie zaproponowane przez Kacperdeva było poprawne z powodu o którym napisałem powyżej.

Słowo dokładnie w zadaniach z p-stwa jest zawsze (ja przynajmniej nie spotkałem się z innym znaczeniem) używane w znaczeniu tylko, wyłącznie.

Słowo tylko to partykuła ograniczająca odniesienie komunikowanego w zdaniu sądu do tych obiektów i stanów rzeczy, które są wymienione (SJP PWN)

Podsumowując, liczby pierwsze są wyłącznie w trzech pierwszych rzutach (i żadnych innych) a liczba sześć jest tylko w ostatnim rzucie (i żadnym innym). Ilość możliwych wyników kolejnych rzutów wynosi więc \(\displaystyle{ 3, 3, 3, 2, 2, 1}\).

Nie wydaje mi się aby na gruncie stosowanej praktyki i reguł języka polskiego była poprawna inna interpretacja treści tego zadania (choć trudno być pewnym intencji autora zadania).

[SuperM4n]

Możesz mieć rację. W razie co, napisałem sobie również twój sposób. Dziękuje wam obu bardzo za pomoc, punkty przyznałem. Miło by było, jakby jeszcze ktoś się wypowiedział.

[mat_61]

Podany przez Ciebie wynik z książki byłby poprawny gdyby treść zadania była np. taka (dlatego proponowałem sprawdzenie treści, bo każde słowo ma znaczenie):

Rzucamy sześć razy sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że dokładnie w trzech pierwszych rzutach wypadną liczby pierwsze, a w ostatnim rzucie wypadnie 6 oczek.