Gra dla dwóch graczy polega na kolejnych rzutach kostka.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Brzezin007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 24 wrz 2013, o 15:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nacpolsk
Podziękował: 2 razy

Gra dla dwóch graczy polega na kolejnych rzutach kostka.

Post autor: Brzezin007 »

Gra dla dwóch graczy polega na kolejnych rzutach kostka. Najpierw kostka rzuca gracz I, nastepnie
gracz II itd. na przenian. Gre wygrywa gracz, który uzyska 6 i to zdarzenie konczy gre.
Oblicz prawdopodobienstwo
a) zdarzenia losowego A, ze wygrana przypadnie graczowi I
b) zdarzenia losowego B, ze wygrana przypadnie graczowi II.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Gra dla dwóch graczy polega na kolejnych rzutach kostka.

Post autor: Kartezjusz »

Jakie zdarzenia wchodzą w grę?
Brzezin007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 24 wrz 2013, o 15:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nacpolsk
Podziękował: 2 razy

Gra dla dwóch graczy polega na kolejnych rzutach kostka.

Post autor: Brzezin007 »

zdarzenie A, ze 1 gracz trafi 6 i zdarzenie B ze 2 gracz trafi 6
robertm19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1847
Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 378 razy

Gra dla dwóch graczy polega na kolejnych rzutach kostka.

Post autor: robertm19 »

Gracz pierwszy ma szanse \(\displaystyle{ p=\frac{1}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^2\frac{1}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^4\frac{1}{6}+...=\frac{1}{6}\left(1+\left(\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{5}{6}\right)^4+...\right)=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{1-\frac{25}{36}}\right)=\frac{1}{6}\frac{36}{36-25}=\frac{6}{11}}\).
Bierze się to stąd, że wygrywa gdy"
-od razu wyrzuci 6
- wyrzuci coś innego, przeciwnik także, a potem gracz I wyrzuca 6
- wyrzuci coś innego, przeciwnik także, a potem sytuacja się powtarza
itd.

Podobnie będzie dla gracza II.
Ostatnio zmieniony 24 wrz 2013, o 18:38 przez robertm19, łącznie zmieniany 2 razy.
dirac_delta
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 24 wrz 2013, o 17:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 1 raz

Gra dla dwóch graczy polega na kolejnych rzutach kostka.

Post autor: dirac_delta »

Szansa na zajście zdarzenia A (pierwszy gracz wyrzuca 6) w n-tej kolejce (licząc od 0) wynosi:

\(\displaystyle{ \frac{1}{6} \left( \frac{5}{6} \right) ^{2n} = \frac{1}{6} \left( \frac{25}{36} \right) ^{n}}\)

Aby otrzymać prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia w dowolnej kolejce, sumujemy powyższą wartość dla n od 0 do \(\displaystyle{ \infty}\) (po wszystkich kolejkach):

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{6} \left( \frac{25}{36} \right) ^{n}}\)

Korzystając ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{6} \left( \frac{25}{36} \right) ^{n} = \frac{\frac{1}{6}}{1-\frac{25}{36}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{36}{11} = \frac{6}{11}}\)

Odpowiednio szansa na zajście zdarzenia B (zdarzenia przeciwnego do A) wynosi:

\(\displaystyle{ 1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}}\)

Mam nadzieję, że pomogłem.

-- 24 wrz 2013, o 18:34 --

Co do odpowiedzi użytkownika robertm19:

\(\displaystyle{ 36-25=11}\), a nie \(\displaystyle{ 9}\)

Drobny błąd, ale wynik zmienia.-- 24 wrz 2013, o 18:34 --Co do odpowiedzi użytkownika robertm19:

\(\displaystyle{ 36-25=11}\), a nie \(\displaystyle{ 9}\)

Drobny błąd, ale wynik zmienia.
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Gra dla dwóch graczy polega na kolejnych rzutach kostka.

Post autor: piasek101 »

Poczytaj o grafach cyklicznych (tu na forum też gdzieś wrzucałem )- takie zadania idą od razu (bez sum ciągów).

[edit]
306407.htm
269374.htm
Gouranga
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1560
Rejestracja: 16 maja 2013, o 17:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trójmiasto
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 242 razy

Gra dla dwóch graczy polega na kolejnych rzutach kostka.

Post autor: Gouranga »

dirac_delta, w pierwszej sumie masz błąd bo sumujesz od 1, w drugiej jest już prawidłowo od 0
ODPOWIEDZ