Łańcuch markowa, prawd. przejścia+rozkład stacjonarny
-
- Użytkownik
- Posty: 120
- Rejestracja: 27 mar 2008, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 59 razy
Łańcuch markowa, prawd. przejścia+rozkład stacjonarny
Dla 3- stanowego łańcucha Markowa znaleźć prawdopodobieństwo przejścia ze stanu 1-ego w 2-gi i z powrotem za 2 kroki oraz udowodnić istnienie rozkładu stacjonarnego i go znaleźć jeśli macierz P przejscia za jeden krok ma postać
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} &0&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\0&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} &0&\frac{1}{2}\\\frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\\0&\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{array}\right]}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 120
- Rejestracja: 27 mar 2008, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 59 razy
Łańcuch markowa, prawd. przejścia+rozkład stacjonarny
Obliczyłem pr przejścia ze stanu w 1-2 i z 2-1
\(\displaystyle{ p^2=\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{4} &\frac{1}{6}&\frac{7}{12}\\\frac{3}{16}&\frac{11}{48}&\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{11}{36}&\frac{22}{36}\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ p _{12}(2)=\frac{1}{6}
p _{21}(2)=\frac{3}{16}}\)
I teraz do obliczenia rozkladu stacjonarnego bierzemy wartosci z której macierzy?
Z macierzy P
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{2}\pi_1+\frac{1}{2}\pi_3=\pi_1\\\frac{1}{4}\pi_1+\frac{1}{4}\pi_2+\frac{1}{2}\pi_3=\pi_2\\\frac{1}{3}\pi_2+\frac{2}{3}\pi_3=\pi_3\\\pi_1+\pi_2+\pi_3=1\end{cases}}\)
czy\(\displaystyle{ p^2}\)?
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{4}\pi_1 +\frac{1}{6}\pi_2+\frac{7}{12}\pi_3=\pi_1\\\frac{3}{16}\pi_1+\frac{11}{48}\pi_2+\frac{7}{12}\pi_3=\pi_2\\\frac{1}{12}\pi_1+\frac{11}{36}\pi_2\frac{22}{36}\pi_3=\pi_3\\\pi_1+\pi_2+\pi_3=1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ p^2=\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{4} &\frac{1}{6}&\frac{7}{12}\\\frac{3}{16}&\frac{11}{48}&\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{11}{36}&\frac{22}{36}\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ p _{12}(2)=\frac{1}{6}
p _{21}(2)=\frac{3}{16}}\)
I teraz do obliczenia rozkladu stacjonarnego bierzemy wartosci z której macierzy?
Z macierzy P
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{2}\pi_1+\frac{1}{2}\pi_3=\pi_1\\\frac{1}{4}\pi_1+\frac{1}{4}\pi_2+\frac{1}{2}\pi_3=\pi_2\\\frac{1}{3}\pi_2+\frac{2}{3}\pi_3=\pi_3\\\pi_1+\pi_2+\pi_3=1\end{cases}}\)
czy\(\displaystyle{ p^2}\)?
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{4}\pi_1 +\frac{1}{6}\pi_2+\frac{7}{12}\pi_3=\pi_1\\\frac{3}{16}\pi_1+\frac{11}{48}\pi_2+\frac{7}{12}\pi_3=\pi_2\\\frac{1}{12}\pi_1+\frac{11}{36}\pi_2\frac{22}{36}\pi_3=\pi_3\\\pi_1+\pi_2+\pi_3=1\end{cases}}\)
- Mistrz
- Użytkownik
- Posty: 637
- Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 135 razy
Łańcuch markowa, prawd. przejścia+rozkład stacjonarny
No i bardzo dobrze. Do rozkładu stacjonarnego bierzemy macierz P, ale P^2 da ten sam wynik.
-
- Użytkownik
- Posty: 120
- Rejestracja: 27 mar 2008, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 59 razy
Łańcuch markowa, prawd. przejścia+rozkład stacjonarny
Wyszło mi, że
\(\displaystyle{ \pi_1=\pi_2=\pi_3= \frac{1}{3}}\)
Czy to już koniec?
\(\displaystyle{ \pi_1=\pi_2=\pi_3= \frac{1}{3}}\)
Czy to już koniec?
-
- Użytkownik
- Posty: 1847
- Rejestracja: 8 lip 2008, o 21:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Staszów/Warszawa
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 378 razy
Łańcuch markowa, prawd. przejścia+rozkład stacjonarny
Źle pomnożyłeś macierze. Zrobiłeś to tak \(\displaystyle{ P\pi=\pi}\), a ma być \(\displaystyle{ \pi P=\pi}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 120
- Rejestracja: 27 mar 2008, o 21:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 59 razy
Łańcuch markowa, prawd. przejścia+rozkład stacjonarny
Poprawiłem
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{2}\pi_1+\frac{1}{4}\pi_2=\pi_1\\\frac{1}{4}\pi_2+\frac{1}{3}\pi_3=\pi_2\\\frac{1}{2}\pi_1+\frac{1}{2}\pi_2+\frac{2}{3}\pi_3=\pi_3\\\pi_1+\pi_2+\pi_3=1\end{cases}}\)
Wyszło mi, że
\(\displaystyle{ \pi_1=\frac{2}{15}}\)
\(\displaystyle{ \pi_2=\frac{4}{15}}\)
\(\displaystyle{ \pi_3= \frac{3}{5}}\)
Czy to już koniec?
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{2}\pi_1+\frac{1}{4}\pi_2=\pi_1\\\frac{1}{4}\pi_2+\frac{1}{3}\pi_3=\pi_2\\\frac{1}{2}\pi_1+\frac{1}{2}\pi_2+\frac{2}{3}\pi_3=\pi_3\\\pi_1+\pi_2+\pi_3=1\end{cases}}\)
Wyszło mi, że
\(\displaystyle{ \pi_1=\frac{2}{15}}\)
\(\displaystyle{ \pi_2=\frac{4}{15}}\)
\(\displaystyle{ \pi_3= \frac{3}{5}}\)
Czy to już koniec?
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Łańcuch markowa, prawd. przejścia+rozkład stacjonarny
Mam wątpliwość. CZemu jest dobrze to prawdopodobieństwo, jeśli macierz \(\displaystyle{ P^{2}}\)mówi nam o prawdopodobieństwie dojścia do danego stanu w dwóch krokach, a chcą prawdopodobieństwo konkretnej reasy Z 1 do 2 i z powrotem.
- Mistrz
- Użytkownik
- Posty: 637
- Rejestracja: 10 sie 2009, o 09:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
- Podziękował: 19 razy
- Pomógł: 135 razy
Łańcuch markowa, prawd. przejścia+rozkład stacjonarny
No własnie, można to różnie interpretować.
Sformułowanie "znaleźć prawdopodobieństwo przejścia ze stanu 1-ego w 2-gi i z powrotem za 2 kroki" zrozumiałem początkowo tak, jak Kartezjusz, czyli że w pierwszym kroku idziemy z 1 do 2, a potem w drugim z 2 do 1 (tu łatwo wychodzi zero), ale potem zorientowałem się, że może też chodzić o to, żeby obliczyć prawdopodobieństwo przejścia z 1 do 2 w 2 kroki oraz prawdopodobieństwo przejścia z powrotem (czyli z 2 do 1) w 2 kroki; to jest to, do czego używamy \(\displaystyle{ P^2}\)
Sformułowanie "znaleźć prawdopodobieństwo przejścia ze stanu 1-ego w 2-gi i z powrotem za 2 kroki" zrozumiałem początkowo tak, jak Kartezjusz, czyli że w pierwszym kroku idziemy z 1 do 2, a potem w drugim z 2 do 1 (tu łatwo wychodzi zero), ale potem zorientowałem się, że może też chodzić o to, żeby obliczyć prawdopodobieństwo przejścia z 1 do 2 w 2 kroki oraz prawdopodobieństwo przejścia z powrotem (czyli z 2 do 1) w 2 kroki; to jest to, do czego używamy \(\displaystyle{ P^2}\)
Łańcuch markowa, prawd. przejścia+rozkład stacjonarny
Witam
Jesli mam lancuch markowa i rozklad graniczny wychodzi 0 0 0 0. Czy te liczby moge uznac za poprawne?
Jesli mam lancuch markowa i rozklad graniczny wychodzi 0 0 0 0. Czy te liczby moge uznac za poprawne?
-
- Użytkownik
- Posty: 35
- Rejestracja: 23 mar 2014, o 17:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Łańcuch markowa, prawd. przejścia+rozkład stacjonarny
Nie, rozkład (nie tylko stacjonarny) to rozkład prawdopodobieństw. Prawdopodobieństwa muszą sumować się do jedynki.